Diámetro conjugado en la hipérbola

La proposición I.16 de las Cónicas de Apolonio dice:
“Si por el punto medio del lado transverso de las secciones opuestas se traza una recta paralela a una ordenada, será un diámetro de las secciones opuestas, conjugado con el diámetro anterior.”

En la figura tenemos dos “secciones opuestas” definidas por un diámetro y lado transverso común AB, lados rectos AE y BF iguales, una dirección de ordenadas HL y la propiedad HL^2 = BL \cdot LN,   GK^2 = AK \cdot KM.

Se trata de demostrar que si por el punto medio C del lado transverso AB se traza una recta CX paralela a las ordenadas, esa recta divide por la mitad los segmentos GH entre las secciones opuestas paralelos al diámetro AB que las define, y por tanto CX es diámetro conjugado del AB.

El argumento de Apolonio es:
Como GHLK es un paralelogramo, GK=HL, entonces GK^2=HL^2   y NL \cdot LB =  MK \cdot KA.
Como \triangle MKB, \ \triangle NLA son semejantes, \dfrac{MK \cdot KA}{NL \cdot LB} = \dfrac{BK \cdot KA}{AL \cdot LB}, y por tanto  BK \cdot KA = AL \cdot LB.
Entonces AK=LB,   CK=CL y XG=XH.

El paso BK \cdot KA = AL \cdot LB \ \Rightarrow \ AK=LB es justificado por Eutocio en su comentario a las Cónicas de la siguiente forma:
\dfrac{BK}{LB}=\dfrac{AL}{KA} \ \Rightarrow \ \dfrac{BK+LB}{LB} = \dfrac{AL+KA}{KA} \ \Rightarrow \ \dfrac{KL}{LB} = \dfrac{KL}{KA} \ \Rightarrow \ LB=KA.

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