Diofanto III.19

“Es muy bello este problema, y de rara sutileza. Aunque Xilandro trabajó mucho en él, no pudo conseguir sin embargo su completa aclaración, privado como estaba de la ayuda de los porismas que se requieren para ello. Y ya que, por consiguiente, nos dejó de buen grado el honor de explicar asunto tan oscuro, nosotros lo asumimos con sumo placer.”
Así comienza Bachet su comentario al problema 19 del libro III de la “Aritmética” de Diofanto, que dice:

“Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de su suma, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forme un cuadrado.   [ Es decir encontrar x_1, x_2, x_3, x_4 tales que (\sum x_j)^2 \pm x_i = w_i^2 ]
Puesto que el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo, aumentado o disminuido en el doble del producto de los catetos, forma un cuadrado, busquemos en primer lugar cuatro triángulos rectángulos con la misma hipotenusa. Lo cual equivale a descomponer de cuatro maneras diferentes un cuadrado como suma de dos cuadrados, cosa que hemos enseñado a hacer de infinitas maneras.”

Diofanto obtiene a continuación los triángulos rectángulos de lados (39,52,65), (25,60,65), multiplicando por 13 y 5 los triángulos (3,4,5) y (5,12,13) y continúa:

“Ahora bien 65 se descompone en forma natural en cuadrados de dos maneras: en 16 y 49 y en 64 y 1; lo que ocurre porque 65 es producto de 13 y 5, y cada uno de estos factores se descompone en suma de dos cuadrados. Formemos triángulos rectángulos a partir de los lados de estos cuadrados: a partir de los números 7 y 4 resulta el triángulo (33,56,65) y a partir de los números 8 y 1 el triángulo (16,63,65)..”

A partir de este párrafo podemos concluir que Diofanto conocía la identidad (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2,
explícitamente formulada por Al-Khazin en su discusión de este problema de Diofanto, y demostrada en el “Liber quadratorum” (1225) de Fibonacci.

A partir de los cuatro triángulos rectángulos con hipotenusa 65 común, Diofanto obtiene la solución \frac{17136600}{163021824}, \frac{12675000}{163021824}, \frac{15615600}{163021824}, \frac{8517600}{163021824}.

En general si tenemos k representaciones de n^2 como suma de dos cuadrados, n^2 = a_i^2 + b_i^2, \ i \in \{ 1\ldots k \}, y \alpha=\frac{n}{\sum 2a_jb_j}, haciendo x_i = 2\alpha^2a_ib_i, \ \sum x_j = n\alpha, y las 2k expresiones (\sum x_j)^2 \pm x_i son cuadrados de números racionales: (\sum x_j)^2 \pm x_i = n^2\alpha^2 \pm 2\alpha^2a_ib_i = \alpha^2(a_i \pm b_i)^2.


Fuente: Diofanto de Alejandría. La Aritmética. Versión castellana de M.Benito Muñoz, E.Fernández Moral y M.Sanchez Benito. Nivola 2007.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Pimedios – La aventura de las matemáticas.