Dominios euclídeos

En la proposición primera del libro VII de los Elementos, el primero de los tres dedicados a lo que hoy se llama teoría de números, Euclides presenta el hoy conocido como algoritmo de Euclides, que permite obtener el máximo común divisor de dos números.
En la proposición 30 del libro VII, Euclides deduce que si p es primo y p divide a ab, entonces p divide a a ó p divide a b, de donde se puede obtener el teorema de descomposición única en producto de factores primos, llamado teorema fundamental de la aritmética.

Siguiendo los pasos de Euclides, hoy se demuestra que un dominio de integridad que tenga un algoritmo de división es un dominio de factorización única.

A continuación está esbozada la demostración de ese hecho que dan Oscar Zariski y Pierre Samuel en su “Commutative Algebra” (Ch.I.$14,$15.):

Un elemento de un anillo R es llamado “unidad” si tiene inverso, y es llamado “irreducible” si no es una unidad y solo lo dividen sus asociados y las unidades. Dos elementos son asociados si uno es producto del otro por una unidad.

Definición. Un dominio de integridad R es un dominio de factorización única si satisface las siguientes condiciones:
UF1. Cada no unidad de R es un producto finito de factores irreducibles.
UF2. La anterior factorización es única, salvo por el orden de los factores y asociados diferentes.

Teorema. En un dominio de integridad en que se cumple UF1, la siguiente condición es equivalente a UF2:
UF3. Si p es un elemento irreducible de R y si p divide a un producto ab, entonces p divide al menos a uno de los factores a,b.

Definición. Un dominio euclídeo E es un dominio de integridad en el cual cada elemento a tiene asociado un entero concreto \phi(a), y la función \phi satisface las siguientes condiciones:
E1. Si b divide a a, entonces \phi(b) \le \phi(a) .
E2. Para cada par de elementos a,b de E, con {}b \neq 0, existen elementos q y r de E tales que a=bq+r con \phi(r) < \phi(b).

Esta definición tiene las siguientes consecuencias:
a. Si b \neq 0, entonces \phi(0) < \phi(b).
b. Si a y b son asociados, entonces \phi(a) = \phi(b).
c. Si a divide a b y \phi(b)=\phi(a), entonces a y b son asociados.
d. Si \epsilon es una unidad, entonces \phi(\epsilon) = \phi(1), y recíprocamente.

Teorema. Un dominio euclídeo es un dominio de factorización única.
Por el teorema anterior, basta verificar que un dominio euclídeo E cumple las condiciones UF1 y UF3. Zariski-Samuel demuestran por inducción respecto a \phi(a) que E cumple la condición UF1.
Y para verificar que se cumple la condición UF3 demuestran el siguiente
Lema. Dos elementos a,b \in E (a,b \neq 0) tienen un máximo común divisor d y d es una combinación lineal de a y b, es decir, d=\alpha a + \beta b, \alpha \in E, \beta \in E.
Sea I el conjunto de todos los elementos de E que son combinaciones lineales Aa+Bb de a y b \ (A,B \in E).   Entre los elementos de I diferentes de cero, elegimos un elemento d para el que \phi(d) es mínimo.   Tenemos d=\alpha a + \beta b, y por otro lado, por E2, podemos encontrar elementos s y t en E tales que a=ds+t, \ \phi(t) < \phi(d).   Tenemos entonces t = a-ds = a(1-\alpha s) + b(-\beta s) \in I y \phi(t) < \phi(d).   Por consiguiente, t=0, es decir, d divide a a. Similarmente se demuestra que d divide a b, y por tanto d es un divisor común de a y b. Además, puesto que d es de la forma \alpha a + \beta b, cada divisor comun de a y b es también un divisor de d. Por tanto d es un máximo común divisor de a y b. C.Q.D.

A partir del lema la verificación de UF3 es inmediata. Porque sea un elemento irreducible p de E que divide a un producto ab, y asumamos que p no divide a a. Entonces el máximo común divisor de p y a es 1, y por tanto, por el lema, podemos escribir 1=\alpha a+\beta b. Por tanto b= b\cdot 1 = \alpha ab+ \beta bp, y puesto que p | ab, se sigue que p | b. Esto completa la prueba del teorema.

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