Dos lemas sobre el radio focal

Para referencia posterior, se demuestran aquí dos lemitas sobre el radio focal de una cónica, consecuencias de la demostración presentada en la entrada sobre la normal y los radios focales.
Como en esa entrada, en las siguientes figuras P es un punto de una cónica con foco S y directriz MX.

Lema 1.
El radio focal SP es la media geométrica de MP, distancia de P a la directriz, y de SG, distancia del foco S a la intersección de la normal con el eje. Es decir SG/SP=SP/MP, que es la excentricidad de la cónica.
Porque, por ser PSR recto, la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia. Entonces los ángulos SPG y PMS son iguales. Los ángulos MPS y PSG también son iguales y por tanto los triángulos PSG y MPS son semejantes y MP/SP=SP/SG.


Lema 2.
En la figura PR/SR=PG/SL.
Si SY es perpendicular a la tangente desde el foco, PS/SY = PG/SL.

Los ángulos SPR y SPG son complementarios, porque el ángulo RPG es recto.
Como PSR es recto y PKG también lo es, los triángulos RSP y PKG son semejantes y por tanto PR/SR=PG/PK. Pero vimos que PK=SL, la mitad del lado recto, y por tanto PR/SR=PG/SL.
Los triángulos SYP y PKG también son semejantes, y entonces PS/SY=PG/PK=PG/SL.

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