Dos observaciones sobre divisores

Dos argumentos combinatorios para dos resultados que serán útiles:

1
Si n = \prod p_i^{r_i} es la descomposición de un n \in \mathbb{N} en producto de factores primos y n=x \cdot y, con x,y \in \mathbb{N}, las descomposiciones de x e y serán x = \prod p_i^{s_i} e y = \prod p_i^{r_i-s_i} , y como para cada s_i podemos elegir entre los r_i +1 valores \{ 0,1,\ldots,r_i\}, el número de soluciones (x,y), \ \ x,y \in \mathbb{N}, de x\cdot y = n, o, lo que es lo mismo, el número de divisores de n, es igual a \prod (r_i+1).

2
Sea a > 1, \  d_1(n) el número de divisores de n que son \equiv 1 \pmod{a}, y d_{-1}(n) el número de divisores de n que son \equiv -1 \pmod{a}.
Si n= s \cdot t   y s,t son primos entre sí, y t solo tiene factores primos \equiv -1  \pmod{a}, entonces
d_1(n)-d_{-1}(n) = \left\{ \begin{array}{ll}  0 &\mbox{ si } t \mbox{ no es un cuadrado} \\  d_1(s)-d_{-1}(s) &\mbox{ si }t \mbox{ es un cuadrado }   \end{array} \right.
porque si q \equiv -1 \pmod{a} no divide a m y el conjunto de divisores de m es \{ m_i \}, el de mq^h será \{ m_i \} \cup \{ qm_i \} \cup \{ q^2m_i \} \cup \ldots \cup \{ q^hm_i \} y entonces, como al multiplicar por un número \equiv -1 \pmod{a} se invierte el signo de los restos:
d_1(mq^h) = d_1(m) + d_{-1}(m)+ d_1(m) + \ldots + d_{\pm 1}(m) donde el último término es d_1(m) o d_{-1}(m) según h sea par o impar. De la misma forma:
d_{-1}(mq^h) = d_{-1}(m) + d_{1}(m)+ d_{-1}(m) + \ldots + d_{\mp 1}(m).
Entonces si h es par d_1(mq^h) - d_{-1}(mq^h) =  d_1(m) - d_{-1}(m) y si h es impar d_1(mq^h) = d_{-1}(mq^h).

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