Du Fay sobre polígonos regulares


Sea una circunferencia (roja en las figuras anteriores) y dos polígonos regulares de n lados, uno circunscrito y otro inscrito en la circunferencia.
Teorema: La diferencia entre las áreas de esos dos polígonos es igual al área de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono circunscrito, e igual al área de un polígono regular de n lados circunscrito a una circunferencia cuyo diámetro es el lado del polígono inscrito.

Este teorema fue publicado (Memoires de l’Academie Royale des Sciences) en 1727 por Charles François de Cisternay du Fay (1698 – 1739).

La demostración de Du Fay es puramente geométrica. Usando las letras de la figura adjunta, unimos AT que cortará a SM en su punto medio U. Entonces \angle UTS = \angle UTM.
Por tanto \angle UTM es el ángulo que forman el radio y el lado de un polígono regular de n lados, y entonces el lado TZ -del polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia cuyo diámetro es el lado TR del polígono circunscrito- está en la recta AT.

Como AT y MS se cortan en ángulo recto, U es el punto medio de ZT y ZMTS es un rombo. Entonces el área de \triangle ZMU es igual a la de \triangle TSU, y el área de \triangle ZMT es igual a la de \triangle SMT y por tanto el área total sombreada en marrón es igual al área sombreada en azul.

Como MU es la mitad de MS, el diámetro del círculo inscrito en el polígono azul de lado ZT es igual al lado del polígono inscrito en el círculo rojo, y queda demostrado el teorema.

Un corolario obtenido por Du Fay es que el área de un círculo cuyo diámetro es el lado de un polígono regular es igual a la diferencia entre las áreas de las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono.
Es decir, en la figura, el área del círculo azul es igual al área de la corona roja.

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