El área de la cardioide

De forma análoga a como definimos la cicloide poligonal en la entrada anterior, definimos aquí la cardioide poligonal.

Si en lugar de rodar el polígono regular sobre una recta lo hacemos rodar, como en la figura, sobre un polígono fijo igual, un vértice del polígono que rueda volverá al punto de partida después de describir una serie de n-1 arcos, si el polígono tiene n lados.

Si unimos con segmentos el punto medio de cada uno de esos arcos con sus extremos se forma una línea poligonal cerrada (roja en la figura), de 2(n-1) segmentos, a la que llamamos cardioide poligonal generada por el polígono regular.

Como en el caso de la cicloide, dividimos el área entre el polígono fijo y la cardioide poligonal en dos partes, naranja y azul en la figura.
Es claro que el área total de la parte naranja es igual a la del polígono que rueda, y la parte azul consta de los mismos triángulos que en el caso de la cicloide, pero duplicados, porque los ángulos de los arcos son el doble de los que se producen cuando el polígono rueda sobre una línea, y cada segmento de la cardioide poligonal subtiende medio arco.

Vimos que en el caso de la cicloide poligonal el área total de esos triángulos es el doble de la del polígono, entonces el área de la parte azul de la figura será cuatro veces el área del polígono, y añadiendo la parte naranja y el polígono fijo, queda demostrado que:
El área encerrada en la cardioide poligonal es seis veces el área del polígono regular que la genera. (Maupertuis, 1727)

Por tanto el área de la cardioide, que se puede considerar generada por un polígono de infinitos lados, es seis veces el área del círculo que la genera.

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