El área de la cicloide en Wallis

En una entrada anterior dimos la demostración de Maupertuis (1727) de que el área de la cicloide es el triple de la del círculo que la genera.

Aquí damos otra demostración, que aparece en Wallis (1695)1, de ese hecho y que también es elemental pero más simple, pues no requiere ningún lema previo, sólo la fórmula del área de la superficie lateral del cilindro.

Consideremos media cicloide como AFB en la figura siguiente.
Trazamos la semicircunferencia BEC, con diámetro BC, eje de simetría de la cicloide.
Por un punto D en el diámetro BC trazamos una paralela a la base, que corta a la semicircunferencia BEC en E y a la cicloide en F.

Sea G el punto de tangencia del círculo generador con la base cuando genera el punto F.
Entonces el segmento AG es igual al arco FG que es igual al arco EC. Pero todo el segmento AC es igual a la semicircunferencia BEC, y por tanto el arco BE es igual al segmento GC, que es igual al FE, porque FECG es un paralelogramo.

Trazamos un cuadrado BCKJ, y sobre ese cuadrado construimos, como en la figura siguiente, un semicilindro cuyas bases semicirculares están en planos perpendiculares al de la cicloide.

Un plano perpendicular al plano BKC de la cicloide y que pase por la diagonal BK del cuadrado cortará a la superficie del semicilindro en dos partes iguales, separadas por una semielipse BTK.
El arco DT en el semicilindro es igual al arco BE en la semicircunferencia BEC, porque BD = DS (porque S está en la diagonal BK del cuadrado BJKC) y la semicircunferencia BEC es igual a la DTL.
Pero hemos visto que el arco BE es igual al segmento FE, entonces el arco DT es igual al segmento FE.

Como esto sucede para cualquier posición de D en BC, cuando D se desplaza por el segmento BC el área barrida por el segmento FE será igual al área barrida por el arco DT en la superficie del semicilindro.

Ese área, cuando D recorre todo el diámetro BC = 2R, es la mitad de la superficie (lateral) del semicilindro de altura 2R, y por tanto es igual a \pi R^2, es decir igual a la del círculo generador de la cicloide.

Por tanto el área bajo la cicloide es el triple del área del círculo que la genera.
En términos del semicilindro anterior, el área de la cicloide es igual a la del semicilindro, incluyendo sus bases semicirculares.


1 – John Wallis. De cycloide et corporibus inde genitis, problematum solutio. En: Opera Mathematica vol. I (1695), pag 499. (Wallis coloca el semicilindro de forma diferente.)


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