El área de la elipse

En la figura, por Euclides II.14, ED^2 = AD \cdot DB y por Apolonio I.21, E'D^2 = k' \cdot AD \cdot DB, con k' constante.
Por tanto E'D = k \cdot ED y la elipse resulta de una contracción de la circunferencia sobre el diámetro AB.

Como las dilataciones desde una recta multiplican las áreas por el factor de dilatación k, el área de la elipse será el área del círculo por ese factor, es decir, en la figura el área de la elipse es \pi \cdot CF \cdot CF'= \pi \cdot CA \cdot CF'.

Por lo mismo, en una elipse las áreas de los paralelogramos formados por las tangentes en los extremos de dos diámetros conjugados son iguales para todos los pares de diámetros conjugados, porque todos esos paralelogramos resultan de la contracción de un cuadrado circunscrito a la circunferencia.

Ese teorema, incluyendo el caso de la hipérbola, es la proposición VII.31 de las Cónicas de Apolonio. Pero como todavía no hemos definido los extremos de los diámetros conjugados en la hipérbola, dejamos la demostración de ese caso para más adelante.

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