El área de la trocoide en Roberval

En De trochoide ejusque spatio (Investigación sobre el área de la trocoide) Roberval dio, hacia 1635, la que parece que es la demostración más simple de que el área de la cicloide es el triple de la del círculo que la genera.

Roberval define “trocoide” como la curva que describe un punto que da una vuelta completa a una circunferencia generadora mientras la circunferencia se traslada, a velocidad proporcional a la de rotación, en dirección opuesta al vector de velocidad del punto en la posición inicial.
Si la longitud del desplazamiento de la circunferencia, hasta que el punto completa una vuelta, es igual a la longitud de la circunferencia, tenemos una cicloide o trocoide simple; si es menor, como en la figura de la derecha, tenemos una trocoide contracta y si es mayor, como en la figura siguiente, una trocoide prolata, en la terminología de Roberval.

La base de la trocoide es el segmento entre la posición inicial y final del punto que describe la curva, el área de la trocoide es el area encerrada entre la curva y la base, vértice de la trocoide es el punto medio de la curva, el eje es el segmento entre el vértice y el punto medio de la base, que es eje de simetría, y el círculo propio de la trocoide es el que tiene al eje por diámetro.

Roberval asocia a cada trocoide una curva, verde en las figuras, a la que llama compañera o socia (“comites sive sociam”) de la trocoide, y que es la curva descrita por la proyección del punto que describe la trocoide sobre el diámetro de la circunferencia generadora perpendicular a la base.
Por la simetría de la figura respecto al centro del rectángulo, es claro que la mitad de la compañera de la trocoide entre el punto inicial y el vértice de la trocoide divide en dos partes iguales el rectángulo cuyos lados son el eje y la mitad de la base.

El área entre la trocoide y su curva compañera es igual al área del círculo generador porque, en la media trocoide de la figura, PD = P'D', puesto que esos segmentos se superponen trasladando el círculo generador a la posición del circulo propio de la trocoide.
Cuando P recorre la media trocoide el segmento PD barre el espacio entre la trocoide y su compañera y el segmento P'D' barre el semicírculo cuyo diámetro es el eje y, como PD = P'D', esas dos áreas son iguales.

Como el área de la trocoide es el área bajo la curva compañera más el área entre la trocoide y la curva compañera, de lo anterior se concluye que el área de la trocoide es igual al área del círculo generador más el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de la base y el vértice de la trocoide.

En el caso de la cicloide la longitud de la base es la de la circunferencia generadora, y entonces el área del triángulo anterior es el doble de la del círculo generador y el área total es el triple de la del círculo generador.

Le trocoide se define hoy de forma diferente a la de Roberval, aunque equivalente, como la curva descrita por un punto P situado en el radio (o en su prolongación) de una circunferencia que rueda sin deslizamiento sobre una recta.


Otras entradas sobre el área de la cicloide:
El área de la cicloide (en Maupertuis)
El área de la cicloide en Wallis

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