El criterio de Euler

Para un primo p impar, si a,b \in \{1\ldots p-1\}, es fácil demostrar que:

  • la ecuación ax \equiv b \pmod{p} tiene una única solución
  • la ecuación x^2 \equiv a \pmod{p} tiene ninguna o dos soluciones.

A partir de esos hechos Gauss demuestra en el artículo 77 de las Disquisitiones el teorema de Wilson. Con el mismo método se demuestra a continuación el criterio de Euler, que dice que un elemento a del sistema de restos \{1,\cdots,p-1\} de un primo p es o no es un cuadrado según a^{\frac{p-1}{2}} sea \equiv 1 ó \equiv -1 \pmod{p}.

Para un resto a, formamos todos los pares (x,y), con \ x \le y, \ x\cdot y \equiv a \pmod{p}.

Si a no es un cuadrado módulo p, los elementos de todos los pares serán diferentes, y como hay p-1 términos x,y, habrá \frac{p-1}{2} pares y el producto de todos los elementos de todos los pares será  a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}, por el teorema de Wilson.

Si a es un cuadrado módulo p, habrá dos pares (\sqrt{a}, \sqrt{a}), \ (-\sqrt{a}, -\sqrt{a}), y en el resto de los pares los términos serán diferentes. Entonces habrá un total de \frac{p+1}{2} pares. Multiplicando todos los términos de todos los pares tenemos a^{\frac{p+1}{2}} \equiv -a(p-1)! \pmod{p}, es decir a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}, por el teorema de Wilson.

Corolarios.
El pequeño teorema de Fermat (a^{p-1} \equiv 1) no se ha usado en la demostración del teorema de Wilson por el artículo 77 de Gauss ni más arriba, y es un corolario evidente.
Otro corolario es que \sqrt{-1} existe en los sistemas de restos para los primos de la forma 4k+1 y no existe para los primos de la forma 4k+3.

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