Para un primo impar, si
, es fácil demostrar que:
- la ecuación
tiene una única solución
- la ecuación
tiene ninguna o dos soluciones.
A partir de esos hechos Gauss demuestra en el artículo 77 de las Disquisitiones el teorema de Wilson. Con el mismo método se demuestra a continuación el criterio de Euler, que dice que un elemento del sistema de restos
de un primo
es o no es un cuadrado según
sea
ó
.
Para un resto , formamos todos los pares
, con
.
Si no es un cuadrado módulo
, los elementos de todos los pares serán diferentes, y como hay
términos
, habrá
pares y el producto de todos los elementos de todos los pares será
, por el teorema de Wilson.
Si es un cuadrado módulo
, habrá dos pares
, y en el resto de los pares los términos serán diferentes. Entonces habrá un total de
pares. Multiplicando todos los términos de todos los pares tenemos
, es decir
, por el teorema de Wilson.
Corolarios.
El pequeño teorema de Fermat () no se ha usado en la demostración del teorema de Wilson por el artículo 77 de Gauss ni más arriba, y es un corolario evidente.
Otro corolario es que existe en los sistemas de restos para los primos de la forma
y no existe para los primos de la forma
.