El criterio de Euler | Guirnalda matemática

Para un primo $p$ impar, si $a,b \in \{1\ldots p-1\}$ , es fácil demostrar que:

la ecuación $ax \equiv b \pmod{p}$ tiene una única solución
la ecuación $x^2 \equiv a \pmod{p}$ tiene ninguna o dos soluciones.

A partir de esos hechos Gauss demuestra en el artículo 77 de las Disquisitiones el teorema de Wilson. Con el mismo método se demuestra a continuación el criterio de Euler, que dice que un elemento $a$ del sistema de restos $\{1,\cdots,p-1\}$ de un primo $p$ es o no es un cuadrado según $a^{\frac{p-1}{2}}$ sea $\equiv 1$ ó $\equiv -1 \pmod{p}$ .

Para un resto $a$ , formamos todos los pares $(x,y)$ , con $\ x \le y, \ x\cdot y \equiv a \pmod{p}$ .

Si $a$ no es un cuadrado módulo $p$ , los elementos de todos los pares serán diferentes, y como hay $p-1$ términos $x,y$ , habrá $\frac{p-1}{2}$ pares y el producto de todos los elementos de todos los pares será $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ , por el teorema de Wilson.

Si $a$ es un cuadrado módulo $p$ , habrá dos pares $(\sqrt{a}, \sqrt{a}), \ (-\sqrt{a}, -\sqrt{a})$ , y en el resto de los pares los términos serán diferentes. Entonces habrá un total de $\frac{p+1}{2}$ pares. Multiplicando todos los términos de todos los pares tenemos $a^{\frac{p+1}{2}} \equiv -a(p-1)! \pmod{p}$ , es decir $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ , por el teorema de Wilson.

Corolarios.
El pequeño teorema de Fermat ( $a^{p-1} \equiv 1$ ) no se ha usado en la demostración del teorema de Wilson por el artículo 77 de Gauss ni más arriba, y es un corolario evidente.
Otro corolario es que $\sqrt{-1}$ existe en los sistemas de restos para los primos de la forma $4k+1$ y no existe para los primos de la forma $4k+3$ .