En la proposición 12 del libro I de las Cónicas, Apolonio obtiene el συμπτωμα (symptoma) o propiedad característica que define a la hipérbola como curva en el plano.

Sean dados un segmento que denominamos lado transverso, un segmento perpendicular a que denominamos lado recto, y una dirección de ordenadas arbitraria .

Apolonio denomina hipérbola a la curva que tiene por diámetro la prolongación del lado transverso , con vértice en y dirección de ordenadas , y tal que el cuadrado de una ordenada aplicado sobre el segmento deja sobre el lado recto un exceso semejante al rectángulo de lados , es decir, en la figura, , donde está en la recta .

Apolonio obtiene la propiedad anterior a partir de la sección de un cono oblicuo por un determinado plano de la siguiente forma:

Recordamos que, en las Cónicas de Apolonio, el triángulo axial correspondiente a un plano que corta a un cono oblicuo es el que tiene como base el diámetro de la base del cono perpendicular a la recta que es interseccion del plano secante con el plano de la base del cono, y cuyo otro vértice es el vértice del cono oblicuo.

Por la proposición I.7 de las Cónicas , la recta , intersección del plano secante con el plano del triángulo axial es un diámetro de la sección cortada por en el cono.

Consideramos el caso en que la recta corta al triángulo axial en dos puntos de la superficie cónica en lados diferentes del vértice, como en la siguiente figura que usa las mismas etiquetas que la anterior para los puntos, y donde todos los puntos, excepto , están en el plano del triángulo axial .

Por Euclides II.14, Trazamos la paralela al diámetro por el vértice del cono, que estará en el plano axial
Sea perpendicular a y tal que .
Como .
Y ,
entonces .
Por tanto
Y como , tenemos que el cuadrado de la ordenada , donde es la intersección de con la perpendicular a por .

El argumento es idéntico al que utiliza Apolonio para la derivación del symptoma de la elipse en la proposición I.13.

Apolonio llama hipérbola a lo que hoy denominamos una de las ramas de la hipérbola, pero también trata la curva formada por las dos ramas, que introduce en la proposición I.14, y a la que llama “secciones opuestas”.