El συμπτωμα de la hipérbola (I.12)

En la proposición 12 del libro I de las Cónicas, Apolonio obtiene el συμπτωμα (symptoma) o propiedad característica que define a la hipérbola como curva en el plano.

Sean dados un segmento HE que denominamos lado transverso, un segmento ER perpendicular a HE que denominamos lado recto, y una dirección de ordenadas arbitraria ST.

Apolonio denomina hipérbola a la curva que tiene por diámetro la prolongación EM del lado transverso HE, con vértice en E y dirección de ordenadas ST, y tal que el cuadrado MS^2 de una ordenada aplicado sobre el segmento EM deja sobre el lado recto ER un exceso RJZK semejante al rectángulo de lados HE, ER, es decir, en la figura, MS^2 = EM \cdot MZ, donde Z está en la recta HR.

Apolonio obtiene la propiedad anterior a partir de la sección de un cono oblicuo por un determinado plano de la siguiente forma:

Recordamos que, en las Cónicas de Apolonio, el triángulo axial VCD correspondiente a un plano \pi que corta a un cono oblicuo es el que tiene como base el diámetro CD de la base del cono perpendicular a la recta AB que es interseccion del plano secante \pi con el plano de la base del cono, y cuyo otro vértice es el vértice V del cono oblicuo.

Por la proposición I.7 de las Cónicas , la recta EI, intersección del plano secante \pi con el plano del triángulo axial VCD es un diámetro de la sección cortada por \pi en el cono.

Consideramos el caso en que la recta EI corta al triángulo axial en dos puntos E,H de la superficie cónica en lados diferentes del vértice, como en la siguiente figura que usa las mismas etiquetas que la anterior para los puntos, y donde todos los puntos, excepto S, están en el plano del triángulo axial VCD.

Por Euclides II.14, SM^2 = LM\cdot MN. Trazamos la paralela VW al diámetro EH por el vértice del cono, que estará en el plano axial VCD.
Sea ER perpendicular a EH y tal que \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{CW\cdot DW}{VW^2}.
Como \triangle ELM \simeq \triangle VCW, \ \ \dfrac{CW}{VW}=\dfrac{LM}{EM}.
Y  \triangle HNM \simeq  \triangle HDI \simeq \triangle VDW,
entonces \dfrac{DW}{VW}=\dfrac{NM}{HM}.
Por tanto \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{LM\cdot NM}{EM\cdot HM}=\dfrac{SM^2}{EM\cdot HM}
Y como \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{MZ}{HM}, tenemos que el cuadrado de la ordenada SM^2 = EM\cdot MZ, donde Z es la intersección de RH con la perpendicular a EH por M.

El argumento es idéntico al que utiliza Apolonio para la derivación del symptoma de la elipse en la proposición I.13.

Apolonio llama hipérbola a lo que hoy denominamos una de las ramas de la hipérbola, pero también trata la curva formada por las dos ramas, que introduce en la proposición I.14, y a la que llama “secciones opuestas”.

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