En la proposición 12 del libro I de las Cónicas, Apolonio obtiene el συμπτωμα (symptoma) o propiedad característica que define a la hipérbola como curva en el plano.
Sean dados un segmento que denominamos lado transverso, un segmento
perpendicular a
que denominamos lado recto, y una dirección de ordenadas arbitraria
.
Apolonio denomina hipérbola a la curva que tiene por diámetro la prolongación del lado transverso
, con vértice en
y dirección de ordenadas
, y tal que el cuadrado
de una ordenada aplicado sobre el segmento
deja sobre el lado recto
un exceso
semejante al rectángulo de lados
, es decir, en la figura,
, donde
está en la recta
.
Apolonio obtiene la propiedad anterior a partir de la sección de un cono oblicuo por un determinado plano de la siguiente forma:
Recordamos que, en las Cónicas de Apolonio, el triángulo axial
correspondiente a un plano
que corta a un cono oblicuo es el que tiene como base el diámetro
de la base del cono perpendicular a la recta
que es interseccion del plano secante
con el plano de la base del cono, y cuyo otro vértice es el vértice
del cono oblicuo.
Por la proposición I.7 de las Cónicas , la recta , intersección del plano secante
con el plano del triángulo axial
es un diámetro de la sección cortada por
en el cono.
Consideramos el caso en que la recta corta al triángulo axial en dos puntos
de la superficie cónica en lados diferentes del vértice, como en la siguiente figura que usa las mismas etiquetas que la anterior para los puntos, y donde todos los puntos, excepto
, están en el plano del triángulo axial
.
Por Euclides II.14,
Trazamos la paralela
al diámetro
por el vértice del cono, que estará en el plano axial
Sea perpendicular a
y tal que
.
Como .
Y ,
entonces .
Por tanto
Y como , tenemos que el cuadrado de la ordenada
, donde
es la intersección de
con la perpendicular a
por
.
El argumento es idéntico al que utiliza Apolonio para la derivación del symptoma de la elipse en la proposición I.13.
Apolonio llama hipérbola a lo que hoy denominamos una de las ramas de la hipérbola, pero también trata la curva formada por las dos ramas, que introduce en la proposición I.14, y a la que llama “secciones opuestas”.
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