El foco y el lado recto

En una cónica la cuerda focal perpendicular al eje es igual al lado recto correspondiente al eje.

Para la parábola los antiguos griegos definían al punto que desde Kepler llamamos foco como el punto situado en el eje a una distancia del vértice de la parábola igual a la cuarta parte del lado recto. (aquí o aquí)

Entonces en la figura, si AR es el lado recto y F el foco, AF=AR/4, y por la definición de parábola FL^2 = AR \cdot AF = AR^2/4,   FL= AR/2   y LL' = AR.

Alternativamente, podemos considerar al eje de la parábola como una cuerda focal, entonces por la entrada anterior FL = 2AF, puesto que 2 es media armónica de 1 e \infty, y por la definición de parábola AR = FL^2/AF = (2AF)^2/AF = 4AF = 2FL.


Para la hipérbola y la elipse (donde FH \cdot AF = FL^2), por el corolario de la entrada anterior, \dfrac{LL'}{AB} = \dfrac{FL^2}{FA \cdot FB}.
Pero por Apolonio I.21, \dfrac{AR}{AB} = \dfrac{FL^2}{FA \cdot FB},   y entonces AR=LL'.

Por tanto en cualquier cónica la cuerda focal perpendicular al eje es igual al lado recto correspondiente al eje