El hada Melusina y la trigonometría

El hada Melusina y la trigonometría se cruzan en la siguiente frase de François Viète:
(Imagen tomada de “Francisci Vietae opera mathematica, Leiden 1646″, pag. 315).

Teorema III. Cuyo descubrimiento de alegría me emocionó, oh diosa Melusina, a ti cien ovejas por una de Pitágoras inmolé“, y que alude a la leyenda, contada en Plutarco, sobre el sacrificio de un buey por Pitágoras al descubrir su teorema.

Una búsqueda adicional revela que la ‘diva Melusinis’ de la frase no es el hada Melusina, sino Catherine de Parthenay, como se ve en la dedicatoria del “In Artem Analitycen Isagoge“, donde Vieta llama a Catherine princesa melusínida, y dice que el hada fue “ataviam tuam” o su cuadrisabuela. (en francés aquí).

En la dedicatoria también se dirige a ella con la invocación ‘o diva Melusinis’, y deja claro que Catherine de Parthenay fue un hada buena para él:

(Idem, pag [15]), o, traducido del francés:
Os debo la vida, y si tengo algo más querido que la vida, lo debo enteramente a vos. Es a vos, oh diva Melusina, a quien debo sobre todo mis estudios de matemática, a los que me han llevado vuestro amor por esta ciencia, el gran conocimiento que poseéis, e incluso ese saber de toda ciencia que no se sabría admirar demasiado en una mujer de raza tan real y tan noble.


El teorema III de la primera cita enuncia las fórmulas para el seno y coseno del ángulo múltiplo, y aparece en el tratado “Ad ploblema, quod…proposuit Adrianus Romanus” y también en el tratado “Ad angulares sectiones…“.  

En realidad Vieta no habla de senos y cosenos sino de bases, alturas e hipotenusas de triángulos rectángulos y el teorema da la relacion entre esos elementos de un triángulo rectángulo con los de otro cuyo ángulo (entre la base y la hipotenusa) sea múltiplo del ángulo del primero. Vieta expresa la fórmula así: (pag. 289)

Es decir, formamos un binomio con el coseno (=base) y el seno (=perpendicular), lo elevamos a la misma potencia (que el múltiplo del ángulo) y distribuimos alternadamente los términos homogéneos que resultan en dos grupos, en cada grupo asignando signo positivo al primer término, negativo al segundo (y así sucesivamente). El primer grupo será el coseno del ángulo multiplo y el segundo grupo el seno.

O tomando uno de los ejemplos de la página siguiente, donde D es el coseno y B es el seno:

(D+B)^4 = D^4 + 4D^3B + 6D^2B^2 + 4DB^3 + B^4, de donde el coseno del ángulo cuádruple es D^4 - 6D^2B^2 + B^4 y el seno 4D^3B - 4DB^3.

La fórmula de Vieta se parece mucho a la fórmula de De Moivre. En cualquier caso tenemos otra conexión (además de la fórmula \sum r_i = -b/a) de Vieta con la demostración de la entrada anterior.

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