El perímetro del triángulo órtico

Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)

Como cada lado del triángulo órtico $\triangle H_AH_BH_C$ de $\triangle ABC$ también es antiparalelo al correspondiente lado de $\triangle ABC$ respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.

Entonces el radio $OA$ es perpendicular a $H_BH_C$ , y por tanto el área del cuadrilátero $AH_BOH_C$ es $\dfrac{OA \cdot H_BH_C}{2}$ .
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros $BH_AOH_C$ y $CH_AOH_B$ son $\dfrac{OB \cdot H_AH_C}{2}$ y $\dfrac{OC \cdot H_AH_B}{2}$ .
Si $\triangle ABC$ es acutángulo, el circuncentro $O$ está en el interior de $\triangle ABC$ .
Entonces el área de $\triangle ABC$ es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.

Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un $\triangle ABC$ acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un $\triangle ABC$ acutángulo, es el doble del área de $\triangle ABC$ dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a $\triangle ABC$ .

Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37