El perímetro del triángulo órtico

Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)

Como cada lado del triángulo órtico \triangle H_AH_BH_C de \triangle ABC también es antiparalelo al correspondiente lado de \triangle ABC respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.

Entonces el radio OA es perpendicular a H_BH_C, y por tanto el área del cuadrilátero AH_BOH_C es \dfrac{OA \cdot H_BH_C}{2}.
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros BH_AOH_C y CH_AOH_B son \dfrac{OB \cdot H_AH_C}{2} y \dfrac{OC \cdot H_AH_B}{2}.
Si \triangle ABC es acutángulo, el circuncentro O está en el interior de \triangle ABC.
Entonces el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.

Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un \triangle ABC acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un \triangle ABC acutángulo, es el doble del área de \triangle ABC dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a \triangle ABC.


Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37


Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Pimedios – La aventura de las matemáticas.