Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)
Como cada lado del triángulo órtico
de
también es antiparalelo al correspondiente lado de
respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.
Entonces el radio es perpendicular a
, y por tanto el área del cuadrilátero
es
.
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros y
son
y
.
Si es acutángulo, el circuncentro
está en el interior de
.
Entonces el área de es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.
Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un
acutángulo, es el doble del área de
dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a
.
Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37
Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Pimedios – La aventura de las matemáticas.
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