El punto de Herón con la razón doble

Demostramos aquí la generalización, mencionada en la entrada anterior, de la concurrencia de Herón al caso en que el ángulo \angle ACB no es recto.
En concreto se demuestra que si, en la figura, AD, BF son perpendiculares repectivamente a AC,BC y AF, BD se cortan en un punto K de la altura CC', entonces AD/AC = BF/BC.

La siguiente demostración se basa en el hecho de que las proyecciones conservan la razon doble de 4 puntos.
Dados 4 puntos A,B,C,D en una recta proyectiva su razón doble es \dfrac{AC}{AD} \cdot \dfrac{BD}{BC}.
La notación usual (ABCD) \barwedge (A'B'C'D') para rangos de puntos situados en dos rectas proyectivas indica que los puntos A,B,C,D se pueden conectar respectivamente con A',B',C',D' mediante una sucesión de proyecciones entre rectas en el plano, o, lo que es lo mismo, que la razon doble de ABCD es la misma que la de A'B'C'D'

En la figura adjunta H es el ortocentro de ABC.
Proyectando desde B tenemos que (\infty DAN) \barwedge (HKC'C).
Y proyectando estos puntos desde A,   (HKC'C) \barwedge (\infty FBM).
Por tanto (\infty DAN) \barwedge (\infty FBM), es decir \dfrac{DA}{DN} = \dfrac{FB}{FM} y entonces \dfrac{DA}{AN} = \dfrac{FB}{BM} o \dfrac{DA}{FB} = \dfrac{AN}{BM}.
Pero los triángulos rectángulos CBM,CAN son semejantes y por tanto \dfrac{AN}{BM} = \dfrac{AC}{BC}, de donde resulta que \dfrac{DA}{AC} = \dfrac{FB}{BC}, como queríamos demostrar.

El hecho de que, aunque \angle ACB no sea recto, AF, BD se cortan en la altura desde C si AD=AC y BF=BC fue comunicado por Vecten en 1817 en los Annales de Gergonne1, y, para el caso más general en que AD/AC = BF/BC, por Querret en 1825 en la misma revista2, con demostración que no usa conceptos de geometría proyectiva.


1 – Vecten. Extrait d’une lettre au rédacteur des Annales. Annales de Gergonne 7 (1816-1817) p. 321-324.
2 – Querret, Gergonne. Démonstration de deux théorèmes de géométrie… Annales de Gergonne 15 (1824-1825) p. 84-89.

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