El punto de Herón en Herón

La figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides, que demuestra el teorema de Pitágoras, tiene la propiedad de que las rectas AF, BD, y la altura CP son concurrentes en un punto, al que llamamos punto de Herón, porque de Herón tenemos la demostración más antigua que se conoce de ese hecho, demostración expuesta por Al Nayrizi en su Comentario sobre el libro I de los Elementos, y que damos a continuación.

La proposición I.43 de los Elementos dice que si el punto E de la figura está situado en la diagonal BC, los paralelogramos AE y DE tienen la misma área.
Herón demuestra como lema previo la recíproca, es decir, si esos paralelogramos tienen la misma área entonces E está en la diagonal BC.

En la figura siguiente, a partir de los cuadrados CD y CF sobre los catetos AC y BC, Herón completa el cuadrado KFLD.
Unimos CK, entonces \triangle CEK es congruente con ACB, y \angle PCB = \angle CAB porque los dos son complementarios del \angle ABC.
Por tanto \angle PCB = \angle ECK y entonces P,C,K están alineados.
Sea H el punto de intersección de BD con PK.
Aplicando I.43 al rectángulo HK, tenemos que los rectángulos EH y GH tienen la misma área.
Y aplicando de nuevo I.43 al rectángulo BD, tenemos que los rectángulos EH y HL tienen la misma área.
Entonces GH y HL tienen la misma área, y aplicando la recíproca de I.43 al rectángulo FA, resulta que H está en la recta FA, como queríamos demostrar.

Es una sencilla demostración que solo usa proposiciones del libro I.
El lector puede encontrar alguna otra. En las siguientes entradas veremos más.


Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.