El punto de Herón en Herón

La figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides, que demuestra el teorema de Pitágoras, tiene la propiedad de que las rectas $AF, BD$ , y la altura $CP$ son concurrentes en un punto, al que llamamos punto de Herón, porque de Herón tenemos la demostración más antigua que se conoce de ese hecho, demostración expuesta por Al Nayrizi en su Comentario sobre el libro I de los Elementos, y que damos a continuación.

La proposición I.43 de los Elementos dice que si el punto $E$ de la figura está situado en la diagonal $BC$ , los paralelogramos $AE$ y $DE$ tienen la misma área.
Herón demuestra como lema previo la recíproca, es decir, si esos paralelogramos tienen la misma área entonces $E$ está en la diagonal $BC.$

En la figura siguiente, a partir de los cuadrados $CD$ y $CF$ sobre los catetos $AC$ y $BC$ , Herón completa el cuadrado $KFLD.$
Unimos $CK$ , entonces $\triangle CEK$ es congruente con $ACB$ , y $\angle PCB = \angle CAB$ porque los dos son complementarios del $\angle ABC$ .
Por tanto $\angle PCB = \angle ECK$ y entonces $P,C,K$ están alineados.
Sea $H$ el punto de intersección de $BD$ con $PK$ .
Aplicando I.43 al rectángulo $HK$ , tenemos que los rectángulos $EH$ y $GH$ tienen la misma área.
Y aplicando de nuevo I.43 al rectángulo $BD$ , tenemos que los rectángulos $EH$ y $HL$ tienen la misma área.
Entonces $GH$ y $HL$ tienen la misma área, y aplicando la recíproca de I.43 al rectángulo $FA$ , resulta que $H$ está en la recta $FA$ , como queríamos demostrar.