La figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides, que demuestra el teorema de Pitágoras, tiene la propiedad de que las rectas
, y la altura
son concurrentes en un punto, al que llamamos punto de Herón, porque de Herón tenemos la demostración más antigua que se conoce de ese hecho, demostración expuesta por Al Nayrizi en su Comentario sobre el libro I de los Elementos, y que damos a continuación.
La proposición I.43 de los Elementos dice que si el punto
de la figura está situado en la diagonal
, los paralelogramos
y
tienen la misma área.
Herón demuestra como lema previo la recíproca, es decir, si esos paralelogramos tienen la misma área entonces está en la diagonal
En la figura siguiente, a partir de los cuadrados y
sobre los catetos
y
, Herón completa
el cuadrado
Unimos , entonces
es congruente con
, y
porque los dos son complementarios del
.
Por tanto y entonces
están alineados.
Sea el punto de intersección de
con
.
Aplicando I.43 al rectángulo , tenemos que los rectángulos
y
tienen la misma área.
Y aplicando de nuevo I.43 al rectángulo , tenemos que los rectángulos
y
tienen la misma área.
Entonces y
tienen la misma área, y aplicando la recíproca de I.43 al rectángulo
, resulta que
está en la recta
, como queríamos demostrar.
Es una sencilla demostración que solo usa proposiciones del libro I.
El lector puede encontrar alguna otra. En las siguientes entradas veremos más.
Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.
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