El punto de Herón vía Ceva

El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, $AA', BB', CC'$ se cortan en un punto si y solo si $\dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.$

Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración¹ del hecho de que las líneas $AF,BD, CC'$ de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.

La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si $AD'/AD = BF'/BF$ entonces $AF',BD',CC'$ se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.

Sea $m=\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BF}{BC}.$
Como $\triangle BA'F, \triangle CA'A$ son semejantes, $\dfrac {A'B}{A'C} = \dfrac{BF}{AC} = \dfrac {m \cdot BC}{AC}$ .
Y como $\triangle AB'D, \triangle CB'B$ son semejantes, $\dfrac {B'C}{B'A} = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac {BC}{m \cdot AC}$ .
Por otro lado, como $\angle ACB$ es recto, $\triangle ACB \simeq \triangle AC'C \simeq \triangle CC'B$ y $\dfrac{C'A}{AC} = \dfrac{AC}{AB}, \ \dfrac{C'B}{BC} = \dfrac{BC}{AB}$ , de donde $\dfrac{C'A}{C'B} = \dfrac{AC^2}{BC^2}$ .
Entonces, como $\dfrac{C'A}{C'B}$ es negativo, y $\dfrac{A'B}{A'C}, \ \dfrac{B'C}{B'A}$ tienen el mismo signo, resulta que $\dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.$