El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura,
se cortan en un punto si y solo si
Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración1 del hecho de que las líneas de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.
La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si entonces
se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.
Sea
Como son semejantes,
.
Y como son semejantes,
.
Por otro lado, como es recto,
y
, de donde
.
Entonces, como es negativo, y
tienen el mismo signo, resulta que
Esta demostración, como la basada en el teorema de Pappus y la dada por Herón no se aplica al caso en que
no sea recto.
Pero la concurrencia de las rectas y la altura desde
en un punto se da para cualquier ángulo
.
1 – Gergonne. Démonstration d’un théorème énoncé dans le Philosophical Magazine, pour septembre 1823. Annales de Gergonne, 14, 1823-1824 p. 334-336
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