El punto de Herón vía Ceva

El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, AA', BB', CC' se cortan en un punto si y solo si   \dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.

Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración1 del hecho de que las líneas AF,BD, CC' de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.

La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si AD'/AD = BF'/BF entonces AF',BD',CC' se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.

Sea m=\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BF}{BC}.
Como \triangle BA'F, \triangle CA'A son semejantes, \dfrac {A'B}{A'C} = \dfrac{BF}{AC} = \dfrac {m \cdot BC}{AC}.
Y como \triangle AB'D, \triangle CB'B son semejantes, \dfrac {B'C}{B'A} = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac {BC}{m \cdot AC}.
Por otro lado, como \angle ACB es recto, \triangle ACB \simeq \triangle AC'C \simeq \triangle CC'B y \dfrac{C'A}{AC} = \dfrac{AC}{AB}, \  \dfrac{C'B}{BC} = \dfrac{BC}{AB}, de donde \dfrac{C'A}{C'B} = \dfrac{AC^2}{BC^2}.
Entonces, como \dfrac{C'A}{C'B} es negativo, y \dfrac{A'B}{A'C}, \ \dfrac{B'C}{B'A} tienen el mismo signo, resulta que \dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.

Esta demostración, como la basada en el teorema de Pappus y la dada por Herón no se aplica al caso en que \angle ACB no sea recto.

Pero la concurrencia de las rectas BD, AF y la altura desde C en un punto se da para cualquier ángulo \angle ACB.



1 – Gergonne. Démonstration d’un théorème énoncé dans le Philosophical Magazine, pour septembre 1823. Annales de Gergonne, 14, 1823-1824 p. 334-336

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