El punto de Herón vía Pappus

En la entrada anterior dimos la demostración de Herón de que las rectas AF y BD de la figura se cortan en la altura desde C.
Aquí demostramos ese hecho usando el dual del teorema de Pappus.
De la aplicación de ese teorema resulta que también las rectas AF', BD' se cortan en esa altura si D',F' están respectivamente en las rectas AD,BF y son tales que AD'/AD = BF'/BF.


El teorema de Pappus dice que si los 6 vértices de un hexágono AB'CA'BC' en el plano proyectivo están situados alternativamente en 2 rectas, los 3 puntos A'',B'',C'' de intersección de los lados opuestos del hexágono están en una recta, y su dual dice que si los 6 lados de un hexágono ab'ca'bc' en el plano proyectivo pasan alternativamente por 2 puntos, las 3 rectas a'',b'',c'' que unen vértices opuestos del hexágono concurren en un punto.

La concurrencia de las lineas en el punto de Herón de un triángulo rectángulo resulta de aplicar el dual del teorema de Pappus:

Obtenemos el punto K, intersección de los lados DE,FG de los cuadrados sobre los lados AC,BC.
En la entrada anterior se demostró que K,C,P están alineados.
Aplicando el dual del teorema de Pappus al hexágono KDACBF, cuyos lados pasan alternativamente por los 2 puntos del infinito representados por las direcciones de los lados del hexágono, resulta inmediatamente que DB,AF,PK concurren en un punto.

Por lo mismo es claro que la concurrencia de las tres rectas en un punto se da también si en lugar de unir los vértices del triángulo con los vértices opuestos de los cuadrados situados hacia el exterior sobre los lados, los unimos con vértices opuestos de rectángulos semejantes situados en el mismo sentido sobre los lados.


Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.

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