El radio de curvatura en las cónicas

Sea O la intersección de las normales a una curva en dos puntos P y P’. Cuando P’ se mueve en la curva hasta coincidir con P el punto O se moverá hasta un punto límite que será el centro de la circunferencia osculatriz en P, y el radio de curvatura de la curva en el punto P será el límite, cuando P’ tiende a P, de la distancia OP.

Demostramos a continuación que en una cónica, ese límite de OP, o radio de curvatura en P, es OP = PG3/SL2, donde PG es el segmento de la normal entre la curva y el eje, y SL el segmento perpendicular al eje entre el foco y la curva, que es la mitad del lado recto.
Si P es un extremo del eje, no existe el punto G, pero entonces OP=SL.


Sea S el foco de una cónica y MR la directriz. Si P y P’ son dos puntos de la cónica, SP/PM=SP’/P’M'=ε es la excentricidad.
Por el lema 1 de la entrada anterior, SG/SP=SP/PM=ε. Entonces SG/PM=(SG/SP)22.
De la misma forma SG’/P’M'=ε2.
Y por tanto (SG’-SG)/(P’M'-PM) = GG’/PN = ε2.
Como los triángulos OGG’ y OPT son semejantes, OG/OP=GG’/PT=(GG’/PN)·(PN/PT) = ε2·PN/PT.

Para obtener el límite de PN/PT cuando P’ tiende a P, observamos que el límite del ángulo PP’T es un ángulo recto, y si PP’T es un triángulo rectángulo PN/PT = (PN/PP’)2.
Cuando P’ tiende a P, la recta P’P tiende a la tangente en P y por tanto en el límite los triángulos PNP’ y PMR son semejantes y, en el límite, PN/PP’=PM/PR.
Por tanto OG/OP = ε2·(PM/PR)2 = SP2/PR2, porque ε·PM=SP.
Entonces (OP-OG)/OP = PG/OP = (PR2-SP2)/PR2 = SR2/PR2, porque el ángulo PSR es recto.
Pero por el lema 2 de la entrada anterior, SR/PR=SL/PG y entonces PG/OP=SL2/PG2, o OP=PG3/SL2, como queriamos demostrar.

Como PG es la media geométrica de los segmentos de la cuerda focal paralela a la tangente (SL es la media armónica), el límite de PG cuando P tiende a la intersección de la cónica con el eje será SL, porque S es el punto medio de la cuerda focal paralela a la tangente.
Entonces el radio de curvatura en la intersección con el eje es OP=SL3/SL2=SL.



Adaptado de:
The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of Mathematics, vol.III, 1866, pag.97

Un comentario sobre “El radio de curvatura en las cónicas

  1. Pingback: Otra construcción de la osculatriz | Guirnalda matemática