El συμπτωμα de la elipse (I.13)

El “symptoma” (συμπτωμα) de una curva era, en la antigua geometría griega, la propiedad característica que define la curva.

Como se ha visto en I.7, la sección de un cono oblicuo VCD por un plano ABM, que no pasa por el vértice del cono, es una curva que tiene un diámetro EH.

En la proposición I.13 de las Cónicas, Apolonio obtiene la relación entre el cuadrado de las ordenadas SM^2 y la distancia EM entre el vértice {}E de la curva y la interseccion {}M de la ordenada con el diámetro, cuando el diámetro EH corta a un mismo lado del vértice V al triángulo axial VCD, intersección del plano axial (que contiene al vértice V y al diámetro CD de la base perpendicular a la recta AB intersección del plano secante con el plano de la base) con el cono.

Por Euclides II.14, SM^2 = LM\cdot MN. Trazamos la paralela VW al diámetro EH por el vértice del cono, que estará en el plano axial VCD.
Sea ER perpendicular a EH y tal que \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{CW\cdot DW}{VW^2}. Como \triangle ELM \simeq \triangle VCW, \ \ \dfrac{CW}{VW}=\dfrac{LM}{EM}.
Y  \triangle HNM \simeq  \triangle HDI \simeq \triangle VDW,
entonces \dfrac{DW}{VW}=\dfrac{NM}{HM}.
Por tanto \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{LM\cdot NM}{EM\cdot HM}=\dfrac{SM^2}{EM\cdot HM}
Y como \dfrac{ER}{EH}=\dfrac{MZ}{HM}, tenemos que
el cuadrado de la ordenada SM^2 = EM\cdot MZ, donde Z es la intersección de RH con la perpendicular a EH por M.

Entonces la curva queda definida por el siguiente “symptoma”:
La curva tiene un diámetro finito y una dirección de ordenadas arbitraria.
El rectángulo que resulta de aplicar el cuadrado sobre una ordenada al segmento del diámetro entre el vértice de la curva y la ordenada, deja sobre un segmento fijo perpendicular al diámetro, el lado recto, un defecto (el rectángulo gris de la siguiente figura) semejante al rectángulo formado por el lado recto y el diámetro.

La siguiente figura en Geogebra, donde los dos cuadriláteros de igual color tienen igual área, ilustra la definición.

[Java no funciona. Imagen de sustitución:]

Apolonio concluye: “llamemos elipse a esa curva”, y, por lo que sabemos, fue el primero en llamar así a esa curva.

(En el enunciado de I.13 Apolonio excluye los casos en que el plano secante es paralelo o antiparalelo a la base, que trata en I.4 y I.5, y que dan lugar a secciones que son circunferencias.)

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