En el artículo 34 del “Traité des propriétés projectives des figures” (1822), Poncelet da una demostración simple del teorema de Carnot para el caso de una curva de segundo grado, es decir, de una sección cónica cortada por 3 rectas:
Es decir, si los lados de un triángulo o sus prolongaciones cortan a una cónica en 6 puntos, se cumple que, en la figura, 
Porque en el caso de que la curva sea una circunferencia, por Euclides III.35 y III.36, 
Como cada punto en el producto de razones aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador, y cada recta da lugar al mismo número de segmentos en el numerador y denominador, por el criterio de Poncelet el cociente anterior es proyectivo, es decir su valor no varía si se proyecta la figura sobre otro plano.
Y como una cónica es la proyección de una circunferencia, la relación anterior se cumple para cualquier cónica cortada por 3 rectas.