El teorema de Carnot en Poncelet

En el artículo 34 del “Traité des propriétés projectives des figures” (1822), Poncelet da una demostración simple del teorema de Carnot para el caso de una curva de segundo grado, es decir, de una sección cónica cortada por 3 rectas:

Es decir, si los lados de un triángulo o sus prolongaciones cortan a una cónica en 6 puntos, se cumple que, en la figura, \dfrac{AP \cdot AP' \cdot BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ' \cdot AR \cdot AR'} = 1.

Porque en el caso de que la curva sea una circunferencia, por Euclides III.35 y III.36,  AP \cdot AP'= AR \cdot AR', etc, y se cumple evidentemente la relación.

Como cada punto en el producto de razones aparece el mismo número de veces en el numerador y denominador, y cada recta da lugar al mismo número de segmentos en el numerador y denominador, por el criterio de Poncelet el cociente anterior es proyectivo, es decir su valor no varía si se proyecta la figura sobre otro plano.
Y como una cónica es la proyección de una circunferencia, la relación anterior se cumple para cualquier cónica cortada por 3 rectas.

Escribir un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

*

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>