El teorema de Dositeo

Dositeo, quizá de Pelusio, fue corresponsal de Arquímedes en Alejandría tras la muerte de Conón, y, hasta las ediciones del manuscrito árabe del tratado “Sobre los espejos ustorios”, de Diocles, en 1976¹ y 2002², sólo era conocido por eso y por ser citado en algunos almanaques griegos antiguos.

En el prólogo de “Sobre los espejos ustorios”, Diocles dice:
“El astrónomo Hipodamos, cuando llegó a Arcadia, nos preguntó como encontrar la superficie de un espejo tal que, cuando se la pone de cara al sol, los rayos reflejados sobre ella se encuentran en un punto y por tanto queman.
Queremos mostrar la solución de lo pedido por Pition e Hipodamos y para ello usaremos lemas establecidos por nuestros predecesores.
Uno de estos problemas, a saber, aquél en que se pide la construcción de un espejo tal que los rayos se encuentren en un solo punto, ha sido resuelto por Dositeo“.(²,p.98.)

De aquí podemos concluir que Dositeo fue el descubridor de la propiedad de reflexión focal de la parábola³, y el primero que la demostró.

El argumento de Dositeo

Diocles dice a continuación:
“Hemos mostrado la composición de las demostraciones y las hemos aclarado”.

De donde se puede conjeturar que Diocles formalizó el argumento dado por Dositeo elaborando la síntesis (=composición) a partir del análisis de Dositeo, y añadiendo detalles, y por tanto que el argumento que da Diocles, que expongo a continuación, es el argumento original de Dositeo y, en cualquier caso, la demostración más antigua (del siglo III a.C.) que tenemos de la propiedad de reflexión de la parábola.

Diocles asume conocidas las propiedades de la tangente y de la normal de la parábola, es decir, en la figura, $EG=GH$ , y $HF$ es constante e igual a la mitad del lado recto. A partir de aquí Diocles detalla el siguiente paso:
Si $C$ es el punto situado en el eje a una distancia del vértice $G$ igual a la cuarta parte del lado recto, entonces $C$ es el punto medio de la hipotenusa $EF$ del triángulo rectángulo $EDF$ .
Y Diocles concluye que $\triangle CDF$ es isósceles y $\angle CDF = \angle CFD$ . Pero $\angle CFD$ es igual al alterno $\angle FDI$ , entonces $\angle CDF = \angle FDI$ y el rayo $ID$ se refleja en $DC.$

Es una demostración sencilla pero algo sofisticada, porque usa la propiedad de la normal de la parábola, conocida en el siglo III a.C. según Apolonio en el prólogo a Cónicas V, y que se puede comparar con la demostración que da el fragmento bobiense, en una época de decadencia de la ciencia.

¹ – G.J.Toomer, Diocles on Burning Mirrors, Springer-Verlag 1976. (Fotocopia del manuscrito, edición del texto árabe y traducción al inglés.)

² – Roshdi Rashed, Les catoptriciens grecs, Les Belles Lettres 2002. (Edición del texto árabe y traducción al francés.) Rashed (p.ix) dice de la edición y traducción de Toomer que es “déconcertante et étonnamment fautive” (desconcertante y asombrosamente defectuosa).

³ – La parábola era denominada en en el siglo III a.C. ‘sección del cono rectángulo’ y la palabra ‘foco’ fue introducida por Kepler en el siglo XVII.

Esta entrada participa en la Edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.