El teorema del seno en Abu’l-Wafa | Guirnalda matemática

La primera demostración publicada del teorema del seno en trigonometría esférica aparece en el Zij al-Majisti de Abu’l-Wafa¹.

Abu’l-Wafa demuestra primero que si los triángulos esféricos de la figura $ADE$ y $ABG$ tienen ángulos rectos en $D$ y $B$ , entonces $\dfrac{\sin BG}{\sin GA} = \dfrac{\sin DE}{\sin EA}$ .

Sea $OA$ el radio en que se cortan los planos de las círculos $ADB$ y $AEG$ . Sean $T,H$ las proyecciones de $E,G$ en el plano $ADB$ .
Los triángulos rectángulos $KET, YGH$ son semejantes porque los ángulos en $K$ e $Y$ son iguales al ángulo entre los planos de los círculos.
Entonces $\dfrac{GH}{GY} = \dfrac{ET}{EK}$ .
Pero en las circunferencias máximas $GB$ y $ED$ , $GH=R \cdot \sin GB$ y $ET = R \cdot \sin ED$ , y en la circunferencia $AEG$ , $GY=R \cdot \sin GA$ y $EK = R \cdot \sin EA$ , y por tanto $\dfrac{\sin BG}{\sin GA} = \dfrac{\sin DE}{\sin EA}$ .

Abu’l-Wafa usa este resultado para demostrar el teorema del seno:

Sea $ABG$ un triángulo esférico. Prolongamos $AB, AG, BA, BG$ hasta $E,Z,H,T$ de forma que $AE=AZ=BH=BT=90^{\circ}$ , y trazamos $ZE,TH$ .

Como $A$ es polo de $ZE$ y $B$ es polo de $TH$ , los ángulos en $E$ y $H$ son rectos y $\angle GAB = ZE$ y $\angle GBA= TH$ . Trazamos $GD$ formando ángulo recto con $AB$ .

Aplicando el resultado anterior a los triángulos $AGB, AZE$ y $BGA, BTH$ , tenemos:
$\dfrac{\sin DG}{\sin AG} = \dfrac{\sin \angle A}{\sin 90^{\circ}}$ y $\dfrac{\sin DG}{\sin BG} = \dfrac{\sin \angle B}{\sin 90^{\circ}}$ , de donde $\dfrac{\sin BG}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin AG}{\sin \angle B}$ .
De la misma forma se demuestra $\dfrac{\sin BG}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin AB}{\sin \angle C}$ .

¹ – Según J.L.Berggren. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer, 1986, pag.174-176.
Otra demostración en: El teorema del seno en Ibn Muadh.