El teorema del seno en Abu’l-Wafa

La primera demostración publicada del teorema del seno en trigonometría esférica aparece en el Zij al-Majisti de Abu’l-Wafa1.

Abu’l-Wafa demuestra primero que si los triángulos esféricos de la figura ADE y ABG tienen ángulos rectos en D y B, entonces \dfrac{\sin BG}{\sin GA} =  \dfrac{\sin DE}{\sin EA}.

Sea OA el radio en que se cortan los planos de las círculos ADB y AEG. Sean T,H las proyecciones de E,G en el plano ADB.
Los triángulos rectángulos KET, YGH son semejantes porque los ángulos en K e Y son iguales al ángulo entre los planos de los círculos.
Entonces \dfrac{GH}{GY} =  \dfrac{ET}{EK}.
Pero en las circunferencias máximas GB y ED, GH=R \cdot \sin GB y ET = R \cdot \sin ED, y en la circunferencia AEG, GY=R \cdot \sin GA y EK = R \cdot \sin EA, y por tanto   \dfrac{\sin BG}{\sin GA} =  \dfrac{\sin DE}{\sin EA}.

Abu’l-Wafa usa este resultado para demostrar el teorema del seno:


Sea ABG un triángulo esférico. Prolongamos AB, AG, BA, BG hasta E,Z,H,T de forma que AE=AZ=BH=BT=90^{\circ}, y trazamos ZE,TH.

Como A es polo de ZE y B es polo de TH, los ángulos en E y H son rectos y \angle GAB = ZE y \angle GBA= TH. Trazamos GD formando ángulo recto con AB.

Aplicando el resultado anterior a los triángulos AGB, AZE y BGA, BTH, tenemos:
\dfrac{\sin DG}{\sin AG} =  \dfrac{\sin \angle A}{\sin 90^{\circ}}   y   \dfrac{\sin DG}{\sin BG} =  \dfrac{\sin \angle B}{\sin 90^{\circ}}, de donde \dfrac{\sin BG}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin AG}{\sin \angle B}.
De la misma forma se demuestra \dfrac{\sin BG}{\sin \angle A} = \dfrac{\sin AB}{\sin \angle C}.


1 – Según J.L.Berggren. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer, 1986, pag.174-176.
Otra demostración en: El teorema del seno en Ibn Muadh.

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