La primera demostración publicada del teorema del seno en trigonometría esférica aparece en el Zij al-Majisti de Abu’l-Wafa1.
Abu’l-Wafa demuestra primero que si los triángulos esféricos de la figura y
tienen ángulos rectos en
y
, entonces
.
Sea el radio en que se cortan los planos de las círculos
y
. Sean
las proyecciones de
en el plano
.
Los triángulos rectángulos son semejantes porque los ángulos en
e
son iguales al ángulo entre los planos de los círculos.
Entonces .
Pero en las circunferencias máximas y
,
y
, y en la circunferencia
,
y
, y por tanto
.
Abu’l-Wafa usa este resultado para demostrar el teorema del seno:
Sea un triángulo esférico. Prolongamos
hasta
de forma que
, y trazamos
.
Como es polo de
y
es polo de
, los ángulos en
y
son rectos y
y
. Trazamos
formando ángulo recto con
.
Aplicando el resultado anterior a los triángulos y
, tenemos:
y
, de donde
.
De la misma forma se demuestra .
1 – Según J.L.Berggren. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer, 1986, pag.174-176.
Otra demostración en: El teorema del seno en Ibn Muadh.