El teorema del seno en Ibn Muadh

El teorema del seno en trigonometría esférica afirma que, en un triangulo esférico con vértices $A,B,C$ y con lados opuestos $a, b, c$ , arcos de círculos máximos,
$\dfrac{\sin \angle A}{\sin a} =\dfrac{\sin \angle B}{\sin b} =\dfrac{\sin \angle C}{\sin c}$ .

Abú al-Wafá Buzjani y Abu Nasr Mansur, a finales del siglo X, se disputaron la paternidad del teorema, que es posible que descubrieran de forma independiente.

Damos aquí la demostración que aparece en el Libro de las incógnitas de los arcos de la esfera (mediados del siglo XI) del matemático andalusí Ibn Muadh al-Jayyani.

Sea el triángulo $ABG$ . Desde el polo $D$ del arco $AB$ trazamos el arco $DG$ que prolongado corta al arco $AB$ en $E$ .
Prolongamos $AB$ hasta $Z$ de forma que $AZ = 90^{\circ}$ y trazamos $DZ$ que será igual a $90^{\circ}$ .
Prolongamos $AG$ hasta $H$ . Como $A$ es el polo de $DZ$ , $AH=90^{\circ}$ y los ángulos en $H$ son rectos, y $\angle A = HZ$ .

Aplicando el teorema de Menelao al triángulo $DGH$ cortado por la transversal $AEZ$ , tenemos
$\dfrac{\sin DZ}{\sin HZ} = \dfrac{\sin DE}{\sin GE} \cdot \dfrac{\sin AG}{\sin AH}$ ,
y como $DE= DZ = AH = 90^{\circ}$ , resulta
$\sin AG \cdot \sin \angle A = \sin GE$ .

Aplicando ese resultado al triángulo $GBE$ , tenemos
$\sin BG \cdot \sin \angle GBE = \sin GE$ .

Y como $\angle GBE$ y $\angle GBA$ son suplementarios, $\sin \angle GBE = \sin \angle B$ , y tenemos que
$\dfrac{\sin \angle A}{\sin BG} = \dfrac{\sin \angle B}{\sin AG}$ .

Si en lugar de construir el polo $D$ de $AB$ , comenzamos por el polo de $BG$ , obrendremos $\dfrac{\sin \angle G}{\sin AB} = \dfrac{\sin \angle B}{\sin AG}$ .

“Y esto es lo que queríamos demostrar”, concluye Ibn-Muadh.

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