El teorema del seno en trigonometría esférica afirma que, en un triangulo esférico con vértices y con lados opuestos
, arcos de círculos máximos,
.
Abú al-Wafá Buzjani y Abu Nasr Mansur, a finales del siglo X, se disputaron la paternidad del teorema, que es posible que descubrieran de forma independiente.
Damos aquí la demostración que aparece en el Libro de las incógnitas de los arcos de la esfera (mediados del siglo XI) del matemático andalusí Ibn Muadh al-Jayyani.
Sea el triángulo . Desde el polo
del arco
trazamos el arco
que prolongado corta al arco
en
.
Prolongamos hasta
de forma que
y trazamos
que será igual a
.
Prolongamos hasta
. Como
es el polo de
,
y los ángulos en
son rectos, y
.
Aplicando el teorema de Menelao al triángulo cortado por la transversal
, tenemos
,
y como , resulta
.
Aplicando ese resultado al triángulo , tenemos
.
Y como y
son suplementarios,
, y tenemos que
.
Si en lugar de construir el polo de
, comenzamos por el polo de
, obrendremos
.
“Y esto es lo que queríamos demostrar”, concluye Ibn-Muadh.
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