El teorema del seno en Ibn Muadh

El teorema del seno en trigonometría esférica afirma que, en un triangulo esférico con vértices A,B,C y con lados opuestos a, b, c, arcos de círculos máximos,
         \dfrac{\sin \angle A}{\sin a} =\dfrac{\sin \angle B}{\sin b} =\dfrac{\sin \angle C}{\sin c}.

Abú al-Wafá Buzjani y Abu Nasr Mansur, a finales del siglo X, se disputaron la paternidad del teorema, que es posible que descubrieran de forma independiente.



Damos aquí la demostración que aparece en el Libro de las incógnitas de los arcos de la esfera (mediados del siglo XI) del matemático andalusí Ibn Muadh al-Jayyani.

Sea el triángulo ABG. Desde el polo D del arco AB trazamos el arco DG que prolongado corta al arco AB en E.
Prolongamos AB hasta Z de forma que AZ = 90^{\circ} y trazamos DZ que será igual a 90^{\circ}.
Prolongamos AG hasta H. Como A es el polo de DZ, AH=90^{\circ} y los ángulos en H son rectos, y \angle A = HZ.

Aplicando el teorema de Menelao al triángulo DGH cortado por la transversal AEZ, tenemos
         \dfrac{\sin DZ}{\sin HZ} = \dfrac{\sin DE}{\sin GE} \cdot \dfrac{\sin AG}{\sin AH},
y como DE= DZ = AH = 90^{\circ}, resulta
         \sin AG \cdot \sin \angle A = \sin GE.

Aplicando ese resultado al triángulo GBE, tenemos
         \sin BG \cdot \sin \angle GBE = \sin GE.

Y como \angle GBE y \angle GBA son suplementarios, \sin \angle GBE = \sin \angle B, y tenemos que
         \dfrac{\sin \angle A}{\sin BG} = \dfrac{\sin \angle B}{\sin AG}.

Si en lugar de construir el polo D de AB, comenzamos por el polo de BG, obrendremos \dfrac{\sin \angle G}{\sin AB} = \dfrac{\sin \angle B}{\sin AG}.

“Y esto es lo que queríamos demostrar”, concluye Ibn-Muadh.

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