El triángulo órtico

El triángulo órtico de un triángulo ABC es el que tiene por vértices los pies H_A, H_B, H_C de las alturas de \triangle ABC.

En la figura los ángulos del mismo color son iguales, porque, por ejemplo, \angle BH_BC y \angle CH_CB son rectos y la circunferencia de diámetro BC pasa por H_C y H_B, y por tanto BC y H_BH_C son antiparalelas respecto a AB y AC, y \angle AH_CH_B = \angle ACB, etc.

Por tanto los triángulos AH_BH_C, BH_CH_A, CH_AH_B son semejantes entre sí y semejantes al triángulo ABC.

Una consecuencia es que las alturas de \triangle ABC son las bisectrices interiores de su triángulo órtico (y los lados de \triangle ABC las exteriores) y por tanto el ortocentro del triángulo ABC es el incentro de su triángulo órtico.
Esta propiedad fue descubierta por Giovanni Francesco Fagnano. (No confundir con su padre Giulio Carlo).

Giovanni Fagnano demostró también que el triángulo órtico es el de menor perímetro que es posible inscribir en un triángulo acutángulo ABC.
La siguiente demostración se debe a L. Féjer.

De los triángulos inscritos que tienen un vértice fijo D en el lado AB, el de menor perímetro es aquel cuyo lado opuesto pasa por los simétricos D' y D'' de D respecto a AC y BC, pues el perímetro de ese triángulo DGH es igual al segmento D'D'' y el de otro triángulo DEF es la linea quebrada D'EFD'' mayor que D'D''.

Se trata entonces de encontrar el punto D en AB que hace mínima la longitud D'D''.

El triángulo D'CD'' es isósceles pues CD' y CD'' son los simétricos de la ceviana CD respecto a AC y BC. Además el ángulo D'CD'' es el doble del ACB y por tanto constante cuando D se mueve sobre AB.

Entonces al moverse D sobre AB, los triángulos D'CD'' que resultan son semejantes y el lado D'D'' será el mínimo cuando CD', es decir CD, sea mínimo, y eso sucede cuando CD es perpendicular a AB, es decir cuando D es el pie de la altura desde C.

Como el triángulo inscrito que resulta es el de perímetro mínimo de todos los que es posible inscribir en \triangle ABC, los otros vértices de ese triángulo inscrito mínimo serán los pies de las otras alturas, pues el argumento anterior se aplica igual a los otros lados.

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