En torno a la figura de Euclides I.47

Demostramos aquí alguna propiedad adicional de la figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides.

En la figura tenemos cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo ABC. En las entradas anteriores hemos dado cuatro demostraciones diferentes del hecho de que las rectas AF, BD y la altura desde C se cortan en un punto.

Además se cumplen otras propiedades curiosas, por ejemplo:

  • CM es igual a CN e igual a la mitad de la media armónica de los catetos CA,CB.

  • El área de los 4 triángulos sombreados es la misma.

  • DH^2 + FK^2 = 5 \cdot GE^2 = 5 \cdot AB^2

La primera afirmación de deduce de la semejanza de \triangle DAM y \triangle BCM, y de \triangle FBN y \triangle ACN.

La segunda afirmación se obtiene del hecho de que \triangle DSA es congruente con \triangle APC y \triangle FTB con \triangle BPC.

Para la tercera afirmación, sea D' el pie de la perpendicular desde H sobre DA. Entonces \angle HAD'= \angle BAC, \triangle AHD' es semejante a \triangle BAC, y como AH=AB, esos triángulos son congruentes, AD'=AD=AC y HD'=BC.
Entonces DH^2 = BC^2 + (2\cdot AC)^2 = BC^2 + 4 \cdot AC^2.
De la misma forma FK^2 = AC^2 + 4 \cdot BC^2 y por tanto DH^2 + FK^2 = 5\cdot AB^2.


Fuente: Casey. A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, pag. 16-17.

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