Euclides I.44

Esta proposición quedará para siempre como una de las más impresionantes de toda la geometría cuando se tiene en cuenta (1) la gran importancia del resultado obtenido: la transformación de un paralelogramo en otro con el mismo ángulo y área pero con un lado de una longitud dada, y (2) la simplicidad de los medios empleados, a saber la mera aplicación de la propiedad de que los complementos de los “paralelogramos sobre el diámetro” de un paralelogramo son iguales.
La maravillosa ingeniosidad de la solución es digna de los ‘antiguos hombres semejantes a dioses’ como llama Proclo a los descubridores del método de aplicación de áreas, y no hay razón para dudar de que la solución, como toda la teoría, es pitagórica.

(T.L.Heath, Euclid Elements, Vol.1 pag.342)





      (Java no funciona.)
La proposición I.44 es el siguiente problema: “Aplicar (παραβαλειν) a una recta dada en un ángulo rectilineo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado”.

Es en efecto maravilloso de qué forma tan simple se resuelve el problema, que hoy se plantearía como a·b = c·x, sin hacer uso de la teoría de la proporción, prohibida en los cuatro primeros libros de los Elementos.

La construcción de la figura aplica el área del rectángulo CB sobre el segmento BF. En el sitio de D.E.Joyce se puede ver la demostración que se da en los Elementos.

Posiblemente el procedimiento era conocido en Mesopotamia en el segundo milenio a.C. y quizá antes.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Scientia.

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