Euclides III.35

Por la proposición VI.13 (o II.14) de los Elementos de Euclides, el segmento CD de la figura es la media geométrica de AC y CB, es decir CD^2 = AC \cdot BC, cualquiera que sea la posición del punto C en el segmento AB.

Por otro lado la proposición I.1 de las Esféricas de Teodosio de Trípoli afirma que la sección que resulta de cortar una esfera con un plano es un círculo. Por tanto las secciones que resultan de cortar una semiesfera por planos perpendiculares a la base son semicírculos.

Por lo anterior en la siguiente figura el producto de los segmentos rojos es igual al producto de los segmentos verdes, pues los dos productos son iguales al cuadrado del segmento azul.

Y tenemos entonces la proposición III.35 de los Elementos, que afirma que en la figura adjunta, PF \cdot PG es constante, o, en palabras de Euclides, “si en un círculo se cortan dos rectas, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra”.


La demostración que da Euclides de III.35 usa solo resultados de los dos primeros libros de los Elementos, es decir no usa geometría del espacio ni teoría de la proporción, pero no es inverosímil que ese resultado se descubriera por primera vez mediante la observación anterior. Al fin y al cabo parece que Arquitas y Eudoxo estaban familiarizados en la primera mitad del siglo IV a.C. con la geometría de la esfera.

La proposición III.35 se extiende inmediatamente a la esfera, pues el plano que forman dos rectas que se cortan en el interior de la esfera corta en la esfera una circunferencia.


Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

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