Girard-Fermat via Minkowski

“La proposición fundamental de los triángulos rectángulos es que todo número primo, que sobrepase en una unidad un múltiplo de 4, está compuesto de dos cuadrados.”
(Fermat, carta a Frenicle, 15 jun 1641)

Ese resultado se conoce a veces como teorema de Fermat, pero sería más apropiado llamarlo teorema de Girard-Fermat-Euler, teniendo en cuenta que Girard lo enunció primero y que el primero en publicar una demostración fue Euler.

Una de la demostraciones del teorema está basada en el teorema de Minkowski.

Si p es un número primo de la forma 4k+1, por el criterio de Euler existe un a tal que a^2 \equiv -1 \pmod{p}.

En el retículo generado por (p,0) y (a,1), el área del paralelogramo fundamental es p.
Cada punto (x,y) de ese retículo es de la forma (np+ma,m) \  n,m \in \mathbb{Z} y x^2 + y^2 es múltiplo de p, porque (np+ma)^2 + m^2 \equiv m^2a^2 + m^2 \equiv 0 \pmod{p} .

La circunferencia con centro en (0,0) y radio \frac{4}{3}\sqrt{p} tiene área \frac{16\pi}{9}p ,mayor que 4 veces el área p de una celda y por tanto, por el teorema de Minkowski, existe un punto (x,y) del retículo distinto de (0,0) en el interior de la circunferencia.

Como, para ese punto (x,y), \ x^2+y^2 es múltiplo de p, y x^2 + y^2 < \frac{16}{9}p, cuadrado del radio de la circunferencia, tendrá que ser x^2 + y^2 = p, y por tanto todo primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados, como queríamos demostrar.

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