Aquí tenemos un simulador en Javascript, ilustrado con Jsxgraph, para el juego de Cramer-Buffon, que consiste en tirar al azar figuras geométricas sobre un suelo pavimentado regularmente y contar las intersecciones con la figura del suelo.
El programa coloca una figura con centro en un punto tomado al azar (en un cuadrado 1×1) y situada con una dirección al azar, y calcula el número de intersecciones de esa figura con la pauta dibujada en el plano base, que en el caso del recuadro de arriba son lineas paralelas o cuadrados (de tamaño 1×1).

La clave del asunto está en que el número medio de intersecciones por tirada, cuando el número de tiradas tiende a infinito, no depende de la forma de la figura que se tira sino solo de su longitud, es decir de la suma de las longitudes de las rectas y curvas que la componen.

Con lo que podemos tirar un hilo flexible de longitud determinada, que al caer tomará cada vez una figura diferente, y el número medio de intersecciones a largo plazo será el mismo que al lanzar un segmento de recta o una circunferencia de la misma longitud.

También la pauta dibujada en el plano base puede variar arbitrariamente en cada tirada, siempre que en cada ‘cuadrado 1×1′, repetido en el plano base, la longitud de las rectas y curvas que contiene sea la misma en diferentes tiradas.

Estos hechos fueron publicados por Joseph Emile Barbier, alumno de l’Ecole Normale, en 1860 en el ‘Journal de Liouville’:

(Barbier, E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2.5 , (1860), p.279)

La fórmula de Barbier se aplica en el simulador de arriba para estimar pi, y su demostración merecerá otra entrada.

---

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.