La cuerda de curvatura focal

Sea P un punto de una cónica con foco S, PG el segmento de la normal entre la curva y el eje y SL la mitad de la cuerda LL' que pasa por el foco S y es perpendicular al eje (que es el el lado recto).
En entradas anteriores demostramos, en este orden:
(1) que la proyección PK de PG sobre SP es igual a SL,
(2) que el radio de curvatura en un punto P de una cónica es OP=\dfrac{PG^3}{SL^2},
(3) que la cuerda de curvatura focal PV, es decir la cuerda de la circunferencia osculatriz que pasa por P y por un foco S es PV=\dfrac{2\ PG^2}{SL},
(4) que esa cuerda PV de la osculatriz es igual a la cuerda EH de la cónica que pasa por el foco S y es paralela a la tangente en P.

Aquí presento otra demostración, más simple, donde se prueba primero (4), y de ahí se deduce (3), y de (3), junto con (1), se obtiene (2).


La cuerda de curvatura focal es igual a la cuerda focal paralela a la tangente.
Tomamos un punto Q de la cónica, diferente de P, trazamos la circunferencia que es tangente a la tangente a la cónica en P y que pasa por Q, y trazamos la paralela a PS por Q, que corta a la tangente en T.
Entonces, por Euclides III.37, TP^2 = TQ \cdot TZ, y por Apolonio III.16-21 y una observación sobre la media armónica focal, \dfrac{TP^2}{TQ \cdot TQ^{\prime}} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Entonces \dfrac{TZ}{TQ'} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Si movemos Q hacia P hasta que coincidan, la circunferencia PQZU se convertirá en la osculatriz en P, y se harán TQ' = PP' y TZ = PU, que será la cuerda focal PV de la osculatriz. Por tanto PV=EH, como queríamos demostrar.


La fórmula de la cuerda de curvatura focal.
Como se demostró que la media armonica de SE y SH es SL, y también que la media geométrica de esos segmentos es PG, su media aritmética será \dfrac {PG^2}{SL}, porque las medias armónica, geométrica y aritmética están en progersión geométrica.
Pero la media aritmética de SE y SH es la mitad de la cuerda EH, y entonces esa cuerda, que es igual a la cuerda focal de la osculatriz o cuerda de curvatura focal PV, es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}.


La fórmula del radio de curvatura.
Sea M la intersección de SP con la perpendicular a PG por G. Por el teorema del cateto en el triángulo rectángulo PGM,   PK, PG, PM están en progresión geométrica, pero se demostró que PK = SL, y por tanto PM = \dfrac{PG^2}{ SL}, y, como PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, resulta que M es el punto medio de PV.
Como el centro O de la osculatriz en P es la intersección de la mediatriz de la cuerda PV con la normal PG, el triángulo PMO es rectángulo y entonces PG,PM,PO están en progresión geométrica y PO = \dfrac{PG^3}{ SL^2}.


Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog pimedios.

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