La fórmula de Brahmagupta por Al-Shanni

Si a,b,c,d son los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y s es el semiperímetro, el área S del cuadrilátero es: S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

A partir de las propiedades (P1) y (P2) de la entrada anterior, a las que llamaremos respectivamente “teorema de la cuerda rota” y “lema de Al-Shanni“, tenemos una bonita demostración geométrica, debida a Al-Shanni (siglo X), de la fórmula de Brahmagupta, que no usa la fórmula de Herón (como la de Euler), ni trigonometría (como la que hoy se encuentra en la wikipedia).

La demostración que sigue es una variante de la de Al-Shanni. En una nota1 final indico la diferencia con la original de Al-Shanni presentada por Al-Biruni2.

(1) Sean AB=a,BC=b dos lados adyacentes de un cuadrilátero, y a > b.
Entonces el punto medio E de la quebrada ABC está en el lado AB y AE=EB+BC=(a+b)/2 \ , \ EB=(a-b)/2.
Sean c > d los otros dos lados del cuadrilátero y s el semiperímetro.
Como 2s = a+b+c+d, \  \  a+b = (s-c) + (s-d),   y como  c > d,\ \  (s-c) < (s-d), por tanto (s-c) es menor que la mitad de a+b y existe en el segmento AE un punto U tal que AU = (s-c), \ \  UB+BC = (s-d).   Y como AE=((s-d)+(s-c))/2,   EU = ((s-d)-(s-c))/2 = (c-d)/2.

(2) Sea un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia.
La mediatriz de una diagonal DB del cuadrilátero corta a la circunferencia en G y F, puntos medios de los arcos DAB y DCB.
Trazamos las perpendiculares GE y FH a los segmentos mayores de las quebradas DAB y DCB. Por el teorema de la cuerda rota, E y H son los puntos medios de esas quebradas y si, en la figura, AB=a,AD=b,CB=c,CD=d,   por la observación del párrafo anterior existen puntos  U,V en los segmentos BE, BH tales que BU = (s-c),   UA+AD =  (s-d),   BV=(s-a),    VC+CD= (s- b), y además EU = CH, \ \ HV= AE.

(3) Como GF es un diámetro de la circunferencia, \angle GBF es recto, y el área del cuadrilátero GBFD, doble del área de \triangle GBF, es igual a GB \cdot BF.   Por el lema de Al-Shanni, \triangle DGB- \triangle DAB = GE \cdot EA   y \triangle DFB-\triangle DCB= FH \cdot HC,   y entonces el área de ABCD es   S = GB \cdot BF - GE \cdot EA - FH \cdot HC.

Por otro lado, aplicando Euclides II.5 a la quebrada DAB, tenemos BU ( UA+AD) = BE^2 - EU^2,   y como BE^2 = GB^2- GE^2,   y por el párrafo anterior EU^2 = CH^2   y BU=(s-c)   y   UA+AD = (s-d),   tenemos (s-c)(s-d) = GB^2 - GE^2 - CH^2.

(4) El triángulo rectángulo GBF es semejante al GEA, porque \angle GAB = \angle GFB, y semejante al CHF porque \angle FCB = \angle FGB.
Entonces \frac{GB}{BF} = \frac{GE}{EA} = \frac{CH}{HF} = \frac{GB^2}{GB \ BF} = \frac{GE^2}{GE \ EA} =  \frac{CH^2}{CH \ HF}.
Por Euclides V.19, si \dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{w} entonces \dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{w}=\dfrac{x-z}{y-w}.
Por tanto \frac{GB}{BF} = \frac{GB^2- GE^2 - CH^2}{GB \ BF - GE \ EA - CH \ HF},   o, por el párrafo anterior, \dfrac{GB}{BF} = \dfrac{(s-c)(s-d)}{S}.
Simétricamente \dfrac{BF}{GB} = \dfrac{(s-a)(s-b)}{S}   y por tanto \dfrac{(s-c)(s-d)}{S} = \dfrac{S}{(s-a)(s-b)},   de donde concluimos S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.



1 – Aparte de la notación y el orden de presentación, la diferencia principal entre esta demostración y la de Al-Shanni está en la construcción inicial de los puntos U, V, donde sustituí el argumento de Al-Shanni por el de los párrafos (1) y (2), quizá más cómodo.

Para construir los puntos U,V Al-Shanni demuestra primero que BH > AE y BE > CH de la siguiente forma:
Los triángulos rectángulos \triangle AEG y \triangle DKG son semejantes, porque \angle GAB =  \angle GDB, y como GD > GA, tenemos que DK > AE.
Como K es el punto medio del segmento DB y H el de la quebrada DCB, mayor que DB, tenemos que BH > DK.
Por tanto BH > AE. De la misma forma BE > CH.

Y Al-Shanni coloca los puntos U,V en EB, HB tales que EU = CH y HV=AE, y prosigue con el argumento de los párrafos (3) y (4) para concluir que el área de ABCD es media proporcional entre BU(UA+AD) y BV(VC+CD).
Por último Al-Shanni observa que, como por el teorema de la cuerda rota HC+CD+DA+AE es igual al semiperímetro, éste será igual también a CD+DA+AU y a CB+BU, y por tanto BU=s-BC, DA+AU=s-CD, y de la misma forma BV=s-AB, DC+CV=s-DA.


2 – Al-Biruni, “Calculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, traducido por Heinrich Suter (al alemán) en Bibliotheca Mathematica, serie 3, vol.11 (1910-1911), págs. 11-78. – Proposición 8 (pág.40).

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