Si son los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y es el semiperímetro, el área del cuadrilátero es:

A partir de las propiedades (P1) y (P2) de la entrada anterior, a las que llamaremos respectivamente “teorema de la cuerda rota” y “lema de Al-Shanni“, tenemos una bonita demostración geométrica, debida a Al-Shanni (siglo X), de la fórmula de Brahmagupta, que no usa la fórmula de Herón (como la de Euler), ni trigonometría (como la que hoy se encuentra en la wikipedia).

La demostración que sigue es una variante de la de Al-Shanni. En una nota¹ final indico la diferencia con la original de Al-Shanni presentada por Al-Biruni².

(1) Sean dos lados adyacentes de un cuadrilátero, y
Entonces el punto medio de la quebrada está en el lado y
Sean los otros dos lados del cuadrilátero y el semiperímetro.
Como   y como por tanto es menor que la mitad de y existe en el segmento un punto tal que   Y como  

(2) Sea un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.
La mediatriz de una diagonal del cuadrilátero corta a la circunferencia en y , puntos medios de los arcos y
Trazamos las perpendiculares y a los segmentos mayores de las quebradas y . Por el teorema de la cuerda rota, y son los puntos medios de esas quebradas y si, en la figura,   por la observación del párrafo anterior existen puntos en los segmentos tales que       y además .

(3) Como es un diámetro de la circunferencia, es recto, y el área del cuadrilátero , doble del área de , es igual a   Por el lema de Al-Shanni,   y   y entonces el área de es   .

Por otro lado, aplicando Euclides II.5 a la quebrada , tenemos   y como   y por el párrafo anterior   y   y     tenemos

(4) El triángulo rectángulo es semejante al , porque y semejante al porque
Entonces
Por Euclides V.19, si entonces .
Por tanto   o, por el párrafo anterior, .
Simétricamente   y por tanto   de donde concluimos .

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¹ – Aparte de la notación y el orden de presentación, la diferencia principal entre esta demostración y la de Al-Shanni está en la construcción inicial de los puntos donde sustituí el argumento de Al-Shanni por el de los párrafos (1) y (2), quizá más cómodo.

Para construir los puntos Al-Shanni demuestra primero que y de la siguiente forma:
Los triángulos rectángulos y son semejantes, porque y como , tenemos que .
Como es el punto medio del segmento y el de la quebrada , mayor que , tenemos que
Por tanto De la misma forma

Y Al-Shanni coloca los puntos en tales que y y prosigue con el argumento de los párrafos (3) y (4) para concluir que el área de es media proporcional entre y .
Por último Al-Shanni observa que, como por el teorema de la cuerda rota es igual al semiperímetro, éste será igual también a y a , y por tanto , y de la misma forma .

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² – Al-Biruni, “Calculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, traducido por Heinrich Suter (al alemán) en Bibliotheca Mathematica, serie 3, vol.11 (1910-1911), págs. 11-78. – Proposición 8 (pág.40).