La fórmula de Herón en Fibonacci


Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Practica Geometriae (1220), dice:
Nam ut mensurandi doctrina perfecte in hoc libro contineatur; qualiter quodlibet trigonum sine investigatione catheti mensurari possit, indicabimus.
(Para que este libro contenga la teoría completa de las medidas mostramos como podemos medir cualquier triángulo sin conocer la altura.)
(Pag 40, linea 7, en la edición de Boncompagni)

Y Fibonacci continúa dando el procedimiento para obtener el área de un triángulo usando la fórmula de Herón, un ejemplo, y una demostración, que sigue los pasos de la de los Banu Musa, y que fue reproducida, en italiano, por Luca Pacioli en su Summa… (1494) (Parte II, Distinctio prima cap. viiifigura) y de aquí copiada por Tartaglia en su General trattato… (1556) (Parte IV, libro I, cap.II, 20-21)

Las demostraciones usan la figura adjunta. Como se ve en las imágenes anteriores, en los textos las perpendiculares th y kn no se dibujan bien, y hay una linea adicional en Fibonacci, quizá un error al dibujar en el manuscrito. Luca Pacioli y Tartaglia (libros impresos) añaden una línea ko , que usan para demostrar el lema (usado sin más en los Banu Musa y Fibonacci): Si kg^2 - kb^2 = ng^2 - nb^2, entonces kn es perpendicular a bg.

En Fibonacci no se usa el círculo inscrito que aparece en la demostración de los Banu Musa, por lo que el comienzo de la demostración es algo diferente. Aunque la demostración de Fibonacci proviene de la de los Banu Musa, no está claro si Fibonacci la tomó del Verba filiorum o de otra fuente.

Desde Tartaglia la demostración de los Banu Musa se difundió a más textos, por ejemplo aparece en Pierre de la Ramée, Scholarum Mathematicorum (1569) (Al final del libro), y, curiosamente, Montucla, en la primera edición de su Historia de las matemáticas (1758 – Vol I, pag.462), asigna a Tartaglia la fórmula de Herón: “Una invención ingeniosa que se le debe es la de medir el área de un triángulo a partir de sus tres lados sin hallar la altura“. En ediciones posteriores (1799 – Vol. I, pag.567) Montucla suprime esa atribución.

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