La fórmula de Herón según Boscovich

Presentamos aquí la demostración por Ruder Boscovich de la que desde el siglo XX se conoce como fórmula de Herón. La demostración aparece en Opera pertinentia ad opticam, et astronomiam, maxima ex parte nova, et omnia hucusque inedita, (1785), tomo V, Opúsculo 14, que comienza así:

Opúsculo XIV.- Demostraciones simples de algunos bellos teoremas sobre triángulos.
Los teoremas que se demuestran en este pequeño opúsculo son elementales y muy conocidos. Tratan de la manera de encontrar, dados los tres lados, un ángulo cualquiera, el radio del círculo inscrito y el área. Las demostraciones que se dan habitualmente en las obras elementales son bastante complicadas. Habiendo encontrado una demostración del primer teorema de una gran simplicidad y tal que, con la misma figura y las mismas palabras se aplica al triángulo plano y al esférico y viendo que las dos otras para el triángulo plano surgen por sí mismas y que para el área del triángulo esférico hay una determinación tan simple y elegante, creo poder proponer todo esto como un objeto muy útil para los redactores de elementos, para ahorrar a los jóvenes alumnos mucha pena, y para inspirarles cierto gusto por la nitidez, la claridad y la elegancia, que deben tener lugar principalmente en las verdades elementales por
las cuales se empieza a desarrollar las ideas y se abre un camino a los conocimientos más complicados y más sublimes.

A continuación Boscovich enuncia el siguiente teorema, que, modernizando la notación y limitándonos al caso plano (el original en este enlace), dice:
Si a,b,c son los lados del triángulo, s el semíperímetro y \alpha el ángulo opuesto al lado a, entonces   \dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {b c}{(s-b)(s-c)}.

Para la demostración usamos la figura siguiente, donde I es el punto de intersección de las bisectrices, s_a, s_b, s_c son los segmentos entre los vértices y los puntos de tangencia con el incírculo y BH, \ CF son perpendiculares a la bisectriz AI: s_a + s_b + s_c es igual al semiperímetro s, y por tanto s_a = s-a, s_b = s-b y s_c = s-c.
\angle CIF = \frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}, porque es ángulo externo de \triangle AIC y \angle BIE = \frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}, porque, por \triangle BIE, es complementario del \angle IBE = \frac{\beta}{2}
y   \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}   suman un recto.
Por tanto \angle BIE = \angle CIF y \angle BIF = \angle CIE.

Por la definición de seno, s_b = BI \sin \angle BIE, BH = BI \sin \angle BIH, s_c = CI \sin \angle CIE, CF = CI \sin \angle CIF.
Por tanto s_b \cdot s_c = BH \cdot CF.
Pero BH=c \sin(\alpha/2) y CF=b \sin(\alpha/2)
Entonces s_b s_c = bc \sin^2(\alpha/2) y como s_b = s-b y s_c = s-c, tenemos demostrado el teorema, que nos da el ángulo a partir de los lados.

Boscovich obtiene como corolario las fórmulas para el radio del íncirculo y el área:
Como bc=(s_a+s_c)(s_a+s_b) = s_a(s_a+s_b+s_c) + s_bs_c = s_as + s_bs_c, la fórmula demostrada se puede escribir \dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {s_as+ s_bs_c}{s_bs_c} = \dfrac {s_as}{s_bs_c} + 1.
En el \triangle AIG tenemos r^2 = AI^2 \sin^2(\alpha/2),
\dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {AI^2}{r^2}= \dfrac {s_a^2+r^2}{r^2} = \dfrac {s_a^2}{r^2}+1.
De donde \dfrac {s}{s_bs_c} = \dfrac {s_a}{r^2}, es decir r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}.
Y como el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de \triangle AIB,\triangle BIC,\triangle AIC, que es rs, el cuadrado del área será r^2s^2 = s(s-a)(s-b)(s-c).

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