Camille Cristophe Gerono dió una demostración muy sencilla, en 1825 (Annales de Gergonne, vol.15 p.305), de la hoy llamada fórmula de Herón, a partir de la fórmula para la tangente de la suma, que traduzco a continuación literalmente (salvo las primeras palabras):
En consecuencia, designando por el radio del círculo tendremos:
Pero, puesto que esos ángulos son las mitades respectivas de los ángulos , que suman cuatro ángulos rectos, su suma debe valer dos ángulos rectos, y por tanto tenemos, por un teorema conocido1 y fácil de demostrar,
es decir, sustituyendo,
de donde .
Pero designando con el área del triángulo, tenemos
y sustituyendo,
.
Tras la publicación inicial de esta entrada, veo la demostración por J.P. Ballantine (AMM 61,1954), también basada en la fórmula la tangente de la suma y que no es más simple que la de Gerono, aunque W. Dunham diga2 que en lo relativo a eficacia total es difícil batirla.
1 – De la fórmula para la tangente de la suma, tememos que si
y entonces
2 – En William Dunham. Euler, el maestro de todos los matemáticos. Nivola 2000, pag.232. (La misma demostración en referencias [2],[4] y [10] de Nelsen.)