La fórmula de Herón según Gerono | Guirnalda matemática

Camille Cristophe Gerono dió una demostración muy sencilla, en 1825 (Annales de Gergonne, vol.15 p.305), de la hoy llamada fórmula de Herón, a partir de la fórmula para la tangente de la suma, que traduzco a continuación literalmente (salvo las primeras palabras):

Sea $s$ el semiperímetro de $\triangle ABC$ , $O$ el centro del círculo inscrito en $\triangle ABC$ y $A', B', C'$ los puntos de contacto de ese círculo con los lados $a,b,c$ . Es conocido y fácil de demostrar que $AB' = s-a, \ BC' = s-b, \ CA'= s-c$ .

En consecuencia, designando por $r$ el radio del círculo tendremos:

$\tan AOB' = \dfrac{s-a}{r}, \quad \tan BOC' = \dfrac{s-b}{r} \quad \tan COA' = \dfrac{s-c}{r}$

Pero, puesto que esos ángulos son las mitades respectivas de los ángulos $B'OC', \ C'OA', \ A'OB'$ , que suman cuatro ángulos rectos, su suma debe valer dos ángulos rectos, y por tanto tenemos, por un teorema conocido¹ y fácil de demostrar,
$\tan AOB' + \tan BOC' + \tan COA' = \tan AOB' \cdot \tan BOC' \cdot \tan COA'$
es decir, sustituyendo, $\dfrac{s-a}{r} +\dfrac{s-b}{r} +\dfrac{s-c}{r} = \dfrac{s-a}{r} \cdot \dfrac{s-b}{r} \cdot \dfrac{s-c}{r}$
de donde $r = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ .
Pero designando con $T$ el área del triángulo, tenemos $T=rs$ y sustituyendo, $T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ .

Tras la publicación inicial de esta entrada, veo la demostración por J.P. Ballantine (AMM 61,1954), también basada en la fórmula la tangente de la suma y que no es más simple que la de Gerono, aunque W. Dunham diga² que en lo relativo a eficacia total es difícil batirla.

¹ – De la fórmula para la tangente de la suma, tememos que si $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ , $\tan \gamma = \tan(180^{\circ}-(\alpha + \beta)) = - \tan (\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta - 1}$
y entonces $\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma = \tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan\gamma$ .

² – En William Dunham. Euler, el maestro de todos los matemáticos. Nivola 2000, pag.232. (La misma demostración en referencias [2],[4] y [10] de Nelsen.)