La fórmula de Herón según Gerono

Camille Cristophe Gerono dió una demostración muy sencilla, en 1825 (Annales de Gergonne, vol.15 p.305), de la hoy llamada fórmula de Herón, a partir de la fórmula para la tangente de la suma, que traduzco a continuación literalmente (salvo las primeras palabras):

Sea s el semiperímetro de \triangle ABC, O el centro del círculo inscrito en \triangle ABC y A', B', C' los puntos de contacto de ese círculo con los lados a,b,c. Es conocido y fácil de demostrar que AB' = s-a, \ BC' = s-b, \ CA'= s-c.

En consecuencia, designando por r el radio del círculo tendremos:

\tan AOB' = \dfrac{s-a}{r}, \quad \tan BOC' = \dfrac{s-b}{r} \quad \tan COA' = \dfrac{s-c}{r}

Pero, puesto que esos ángulos son las mitades respectivas de los ángulos B'OC', \ C'OA', \ A'OB', que suman cuatro ángulos rectos, su suma debe valer dos ángulos rectos, y por tanto tenemos, por un teorema conocido1 y fácil de demostrar,
\tan AOB' + \tan BOC' + \tan COA' = \tan AOB' \cdot \tan BOC' \cdot \tan COA'
es decir, sustituyendo, \dfrac{s-a}{r} +\dfrac{s-b}{r} +\dfrac{s-c}{r} = \dfrac{s-a}{r}  \cdot \dfrac{s-b}{r}  \cdot \dfrac{s-c}{r}
de donde r = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.
Pero designando con T el área del triángulo, tenemos T=rs y sustituyendo, T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Tras la publicación inicial de esta entrada, veo la demostración por J.P. Ballantine (AMM 61,1954), también basada en la fórmula la tangente de la suma y que no es más simple que la de Gerono, aunque W. Dunham diga2 que en lo relativo a eficacia total es difícil batirla.


1 – De la fórmula para la tangente de la suma, tememos que si \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}, \tan \gamma = \tan(180^{\circ}-(\alpha + \beta)) = - \tan (\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta - 1}
y entonces \tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma = \tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan\gamma.

2 – En William Dunham. Euler, el maestro de todos los matemáticos. Nivola 2000, pag.232. (La misma demostración en referencias [2],[4] y [10] de Nelsen.)

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