La fórmula de Herón según Herón

Sigue a continuación una exposición, bastante literal, de la demostración por Herón de Alejandría, en su ‘Métrica‘ (libro I, capítulo VIII) o en su ‘Sobre dioptras‘ (capítulo XXX), de la llamada fórmula de Herón.

Sea H el centro de la circunferencia inscrita en \triangle ABC y D,E,Z los puntos de tangencia con los lados.
Como el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de \triangle ABH, \triangle ACH, \triangle BCH, el semiperímetro de ABC por el radio HE de la circunferencia inscrita es el área de \triangle ABC.
Prolongamos CB hasta un punto T tal que BT=AD.
Como AD=AZ, BD=BE, CZ=CE, tenemos que CT es el semiperímetro de \triangle ABC.
Entonces CT \cdot EH es el área de ABC y el cuadrado del área es CT^2 \cdot EH^2.

Trazamos HL perpendicular a CH, y BL perpendicular a CB, y unimos CL.
Como \angle CHL y \angle CBL son rectos, el cuadrilatero CHBL está inscrito en un círculo y entonces \angle CHB y \angle CLB suman dos rectos.

Pero \angle CHB y \angle AHD también suman dos rectos porque \angle CHB+\angle AHD = \angle AHC+ \angle DHB (porque por ser AH,BH,CH bisectrices, los ángulos del mismo color en la figura son iguales) y esos 4 ángulos suman 4 rectos.
Entonces \angle AHD = \angle CLB y, como \angle ADH = \angle CBL, los triángulos \triangle ADH y \triangle CBL son semejantes.

Por tanto \dfrac{BC}{BL} = \dfrac{DA}{DH} = \dfrac{BT}{EH}, y entonces, invertendo, \dfrac{BC}{BT} = \dfrac{BL}{EH} = \dfrac{BK}{KE}, y por tanto, componendo (sumando 1 a ambos lados), \dfrac{CT}{BT} = \dfrac{BE}{EK} y \dfrac{CT^2}{CT \cdot BT} = \dfrac{BE \cdot EC}{EK \cdot EC} = \dfrac{BE \cdot EC}{EH^2}, porque EH es altura del triángulo rectángulo \triangle KHC.

Entonces CT^2 \cdot EH^2 =  CT \cdot BT \cdot BE \cdot EC.
Pero CT^2 \cdot EH^2 es el cuadrado del área de \triangle ABC y

  • CT es el semiperímetro de \triangle ABC

  • BT es el exceso del semiperímerto sobre BC

  • BE es el exceso del semiperímetro sobre AC (porque BT=AD=AZ y CE=CZ)

  • EC es el exceso del semiperímetro sobre AB (porque BE=BD y BT=AD).

Herón concluye con un ejemplo:
“Sea AB 13 unidades, BC 14 unidades y AC 12 unidades. Suma 13 y 14 y 15, resultado 42. La mitad 21; resta 13, queda 8; resta 14, queda 7; resta 15, queda 6. Multiplica 21 por 8 y el resultado por 7 y otra vez el resultado por 6. El producto es 7056. La raiz cuadrada es 84. Esa será el área del triángulo.”

Un comentario sobre “La fórmula de Herón según Herón

  1. Excelente blog, el contenido es muy interesante y en varias ocasiones único en nuestro idioma ¡Felicitaciones!