La ley de áreas y la velocidad

Si, en la figura, el punto S está fijo y el punto P se mueve sobre la curva azul, obligado por la ley de la inercia y una fuerza de atracción desde S, es decir, de forma que el radio SP barre áreas iguales en tiempos iguales, entonces la velocidad de P en cada instante es inversamente proporcional a la distancia desde S a la tangente a la trayectoria (en la posición de P en ese instante), y si la velocidad es inversamente proporcional a la distancia a la tangente, SP barre áreas iguales en tiempos iguales.
En la figura , la velocidad de P en B será a su velocidad en D como Sd es a Sb.

El resultado anterior es el primer corolario del primer teorema de los Principia, que Newton enuncia así:
“Corolario 1. La velocidad de un cuerpo atraído hacia un centro inmóvil en un espacio no resistente es inversamente como la perpendicular trazada desde tal centro a la tangente de la curva.”

Porque se cumple para trayectorias poligonales, como la trayectoria ABCD de la figura, donde el movimiento inercial del punto se altera por impulsos instantáneos dirigidos hacia el centro S aplicados en B y C:
Si ab y cd son espacios recorridos en tiempos iguales, por el primer teorema de los Principia las áreas de los triángulos Sab y Scd son iguales. Entonces las bases ab, cd de esos triángulos son inversamente proporcionales a sus alturas. Pero esas bases ab, cd, recorridas en tiempos iguales, son proporcionales a las velocidades del punto móvil cuando recorre los segmentos AB y CD de la trayectoria poligonal.

Como una trayectoria curva producida por una fuerza central es el límite de trayectorias poligonales cuando la duración de los intervalos entre impulsos tiende a cero, en esa curva la velocidad en cada punto será inversamente proporcional a la distancia desde el centro de fuerzas a la tangente en ese punto.

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