La ley de fuerzas focal

Supongamos que un punto P se mueve sobre una cónica con foco S de forma que el segmento SP barre áreas iguales en tiempos iguales. Entonces, por la proposición 2 de los Principia de Newton, la trayectoria de P es la que produciría la ley de la inercia junto con una determinada fuerza ejercida sobre P en la dirección de la recta SP.
Si la trayectoria es una parábola, una elipse, o la rama próxima al foco de una hipérbola, la fuerza será dirigida hacia el foco, y si es la otra rama de la hipérbola la fuerza será dirigida en dirección opuesta.

Demostramos aquí que la magnitud de esa fuerza, que hace que el punto móvil P describa esa trayectoria, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP del foco S a los diferentes puntos de la cónica.

Este es el resultado que Newton obtiene en las proposiciones 11, 12, y 13 de los Principia para la elipse, hipérbola y parábola respectivamente. Newton escribe que, aunque la prueba para la elipse se puede generalizar para cualquier cónica, “dada la dignidad del problema y su utilidad en lo sucesivo confirmaré mediante demostración los demás casos”.

En la segunda edición de los Principia, Newton da dos demostraciones para cada caso, una basada en el corolario 6.1 y otra basada en 6.3, que además usan las proposiciones 7 y 10. En la nota 268 de la llamada “edición de los jesuitas” (en realidad a cargo de los franciscanos Le Seur y Jacquier) se da otra demostración más directa, en la que está inspirada la siguiente, que es un poco más simple:

Por el corolario 6.3 una fuerza central es, en la trayectoria que produce, inversamente proporcional a la cuerda de la osculatriz que pasa por el centro de fuerzas y al cuadrado de la perpendicular desde el centro de fuerzas a la tangente, es decir, con las letras de la figura: F_P \propto \dfrac{1}{PV \cdot SY^2}.
Pero se demostró que en una cónica la cuerda focal de curvatura es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, y también que \dfrac{PG}{SL}  = \dfrac{SP}{SY} , y entonces PV=  \dfrac{2 \ SL \cdot SP^2}{SY^2}.
Sustituyendo PV en la proporción anterior para F_P, y teniendo en cuenta que SL es fijo para una cónica, tenemos que F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}.

Es decir, la fuerza ejercida en la dirección del foco que hace que un punto móvil describa una cónica dada cualquiera es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.


Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog pimedios.