La ley de gravedad produce cónicas

Consideremos en el espacio un punto fijo S y otro punto móvil P, situado inicialmente en P0.
Si en P0 aplicamos un impulso a P, en una dirección P0T diferente de la de P0S, por la ley de la inercia P se móverá en la dirección del impulso en línea recta a una velocidad uniforme v0, si no se ejerce ninguna fuerza sobre él.
Pero si a partir del impulso inicial se ejerce sobre P una fuerza continua en la dirección de S cuya magnitud varíe de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto P y S, entonces el punto P, sujeto a la inercia y a esa ley central de fuerzas, describirá una trayectoria curva que será siempre una sección cónica de la que S es un foco.

Demostramos aquí ese teorema, que Newton presenta como corolario tras la proposición 13 del primer libro de los Principia, y que, gracias a Halley, originó su escritura.
El teorema es el recíproco del presentado en la entrada anterior.

Están dadas la posición P0 inicial del punto, la dirección y magnitud v0 de la velocidad , y la posición del centro de fuerzas S y la fuerza FP que se ejerce en cada punto, que, por hipótesis, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP.

Por el corolario 6.4, como están dadas la magnitud de la velocidad en P0 y de la fuerza, está dada la cuerda P0V de la osculatriz en P0 que pasa por el centro de fuerzas.

Pero podemos construir una cónica que pase por P0 y tenga como tangente la tangente a la trayectoria en P0, tenga a S como foco, y tenga la cuerda P0V de la osculatriz, de cualquier tamaño, en la dirección P0S. (La perpendicular a la normal desde el punto medio M de P0V nos da G. Entonces SG es el eje de la cónica y SG/SP0 la excentricidad).

Si un punto P describe esa cónica partiendo de P0 con velocidad inicial v0, y modula su velocidad de forma que el radio SP barra áreas iguales en tiempos iguales (es decir de forma que la velocidad sea inversamente proporcional a la distancia del foco a la tangente), entonces, por las proposiciones 11,12,13 de los Principia el punto se mueve sometido a una fuerza, en la dirección del foco, inversamente proporcional a SP2, y que será igual en P0 (y por tanto en el resto de los puntos) a la fuerza asumida como hipótesis, porque produce en ese punto la misma curvatura con la misma velocidad.

Y como la trayectoria está determinada unívocamente por la fuerza que se aplica en cada punto junto con la posición y velocidad iniciales del punto móvil, la trayectoria a partir de esas condiciones iniciales será siempre la cónica que hemos construido a partir del foco, la tangente en un punto y la cuerda de curvatura focal en ese punto.

Si la fuerza central está dirigida hacia S, la trayectoria será una elipse, o un trozo de parábola o de hipérbola segun el valor de la excentricidad SG/SP0, y si la fuerza está dirigida en dirección contraria la trayectoria será parte de una hipérbola y SG será mayor que SP0.
La circunferencia es un caso particular de elipse, en la que que los focos y el centro coinciden.

Un comentario sobre “La ley de gravedad produce cónicas

  1. Pingback: La tercera ley de Kepler | Guirnalda matemática