La normal y los radios focales

Demostramos aquí que, en las cónicas, la proyección ortogonal sobre los radios focales del segmento de la normal entre la curva y el eje es constante e igual a la mitad del lado recto.

En la figura, P es un punto de una cónica con focos S’,S ; G es la intersección de la normal en P con el eje, y H,K son los pies de las perpendiculares trazadas desde G sobre las rectas S’P, SP.
Entonces el segmento PK es igual al PH, y esa longitud PK es independiente del punto P y es igual al segmento SL, que es igual a la mitad del lado recto.

Si convertimos la cónica en una parábola cambiando la excentricidad, uno de los focos se mueve al infinito, el correspondiente radio focal se convierte en una paralela al eje, y resulta como corolario que en la parábola el segmento subnormal NG es constante y igual a la mitad del lado recto, resultado que aparece en Apolonio VII.5.

 
Para la demostración usamos la definición de la cónica como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco S y a una recta directriz MX es constante.

El ángulo PSR es recto, y por tanto la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia.
La circunferencia de diámetro PG pasa por K y por N.
El ángulo KNS es igual al SPG porque los dos son suplementarios del KNG, y el ángulo SPG es igual al PMS porque PG es tangente a la circunferencia PMS. Y como los ángulos PMS y MSX son iguales, el KNS es igual al MSX y las rectas NZ, SM son paralelas y MZ=SN.
Por triángulos semejantes, PK/PZ=SP/PM, y como PZ=SX, PK/SX=SP/PM. Pero por la definición foco-directriz, SL/SX=SP/PM, y por tanto PK=SL, que es la mitad del lado recto.

Usando el otro foco y su directriz correspondiente, simétrica de MX respecto al centro de la cónica, la proyección PH sobre el otro radio focal del segmento PG será también igual a la mitad del lado recto.

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