La tangente a la cicloide

Fermat dio la siguiente regla para trazar la tangente a la cicloide en un punto P de la curva.
Trazamos la circunferencia que tiene por diámetro el eje BC de la cicloide. La paralela a la base por P corta a esa circunferencia en G. Trazamos un segmento desde el vértice B de la cicloide hasta G. Entonces la paralela a BG por P es la tangente en P a la cicloide.

La demostración es fácil usando el método de Roberval, que consiste en aplicar que:

  • cuando un punto describe una curva, el vector velocidad es tangente a la curva en cada punto y
  • en un movimiento compuesto, la velocidad resultante es la suma de las componentes según la regla del paralelogramo.

El movimiento de P al generar la cicloide está compuesto de un movimiento de rotación alrededor del centro O del círculo que genera la cicloide y de un movimiento de traslación de todo ese círculo paralelamente a la base.
Como el desplazamiento paralelo a la base provoca que un punto en la circunferencia se desplaze un arco de la misma longitud, la velocidad tangencial de rotación en P es igual a la velocidad de traslación y el paralelogramo de velocidades es un rombo. Entonces el vector velocidad resultante, tangente a la curva en ese punto, está en la bisectriz de las dos componentes, y la tangente en P es bisectriz del ángulo que forman la paralela a la base por P y la tangente al círculo generador en P.

En la figura, la tangente GK a la circunferencia de diámetro BC en G es paralela a la tangente al círculo generador en P.
Como el arco GBL es el doble del arco BL, el ángulo \angle KGL es el doble del ángulo \angle BGL (por Euclides III.21 y III.32).
Entonces GB es bisectriz de KGL, y por tanto paralela a la tangente a la cicloide en P.


Otras entradas sobre la cicloide:
El área de la cicloide (en Maupertuis)
El área de la cicloide en Wallis
Longitud de la cicloide y de la cardioide

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