La tercera ley de Kepler | Guirnalda matemática

En la proposición 15 de los Principia Newton demuestra que la ley de gravedad, es decir el hecho de que la fuerza de atracción sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, implica la tercera ley de Kepler. (Que implica las dos primeras leyes quedó demostrado en las proposiciones 1 y 13.1).

Proposición 14
“Si varios cuerpos giran en torno a un centro común y la fuerza centrípeta es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro, digo que los lados rectos de las órbitas son como los cuadrados de las áreas barridas en tiempos iguales por los radios trazados al centro”.
Esta es la proposición 14 de los Principia, que demostramos a continuación de forma distinta a como lo hace Newton.
Si $F_P$ es la fuerza en $P$ , y $\tau$ es el área barrida por unidad de tiempo, por la observación de la entrada anterior $F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ PV \cdot SY^2}$ .
Si $F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}$ , las trayectorias serán secciones cónicas, pero vimos que en una cónica $PV \cdot SY^2 = 2\ SL \cdot SP^2$ , entonces $F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ SL \cdot SP^2}$ , y como está dada la proporción $F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}$ , será necesariamente $SL \propto \tau^2$ , ó $\tau \propto \sqrt{SL}$ , es decir las áreas barridas por unidad de tiempo en las diferentes cónicas son proporcionales a las raíces de los lados rectos de esas cónicas.

Corolario 14.1
Si la órbita es una elipse, el punto móvil vuelve a la misma posición tras un periodo $T$ . Entonces el área $E$ de la elipse será $E = \tau \cdot T$ , porque $\tau$ es el área barrida por unidad de tiempo, y en el periodo $T$ se barre toda la superficie de la elipse. Por tanto $E \propto T \cdot \sqrt{SL}$ . Como esa área es proporcional al producto $M \cdot m$ de los ejes mayor y menor de la elipse, será $M \cdot m \propto T \cdot \sqrt{SL}.$

Proposición 15
“Supuesto esto (la ley de gravedad), digo que los tiempos periódicos en las elipses son como los ejes mayores elevados a la potencia 3/2″.
Porque, por Apolonio I.15, $m^2 = M \cdot LL'$ , donde $LL'$ es el lado recto, y por tanto $m = M^{1/2} \sqrt{LL'}$ , y sustituyendo en la proporción del corolario 14.1 tenemos $M^{3/2} \sqrt{2\ SL} \propto T \sqrt{SL}$ , es decir $M^{3/2} \propto T$ como queríamos demostrar.