La trisección del ángulo de Arquímedes

Además de las trisecciones del ángulo, mediante neusis entre dos rectas y mediante una hipérbola, que expone Pappus en su Colección Matemática, tenemos otra única trisección que nos ha llegado de los antiguos griegos.

El método está expuesto en la proposición 8 del “Libro de los Lemas”, y posiblemente se deba a Arquímedes.

En la siguiente figura en GeoGebra, al mover el punto sobre la circunferencia, los tres segmentos rojos se mantienen iguales.
Entonces usando dos veces que los ángulos de la base de un triängulo isósceles son iguales (Euc.I.5), y dos veces que un ángulo externo es igual a la suma de los otros dos ángulos en un triángulo (Euc.I.32), resulta que el ángulo mayor es triple del menor.

El método de trisección consiste en trazar una recta desde el punto azul de forma que el segmento interceptado entre la circunferencia y el diámetro sea igual al radio.
Este es un caso de neusis, que, como veremos, puede ser resuelto mediante la intersección de una hipérbola equilátera y una parábola.

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