Las paradojas de Erycino

Se supone que las matemáticas son consistentes, y por tanto no tienen contradicciones, pero, como ya observaron los antiguos griegos, sí tienen algunos resultados a primera vista contrarios a la intuición común.

Pappus de Alejandría, en el libro III de su “Colección matemática“, presenta unas proposiciones que dice ha tomado de las “Paradojas” de Erycino, del que no tenemos otra noticia.

Un grupo de resultados, que Pappus expone, se derivan del hecho de que podemos construir un triángulo, o cualquier polígono, de perímetro tan grande como queramos con un área tan pequeña como queramos. Por ejemplo (Pappus III.40):
Dado un paralelogramo y cualquier número N, construir un paralelogramo cuyos lados sean, cada uno, N veces los lados del primero y cuya área sea una parte tan pequeña como queramos del área del primer paralelogramo.

El otro grupo de resultados tomados de Erycino se refieren a que en el interior de una línea quebrada situada sobre una base, podemos construir otra con el mismo número de segmentos y longitud total mayor.

Pappus demuestra (III.30) que si un triángulo es equilátero o isósceles con la base menor que los lados iguales, no existe un punto en el interior del triángulo desde el que es posible trazar segmentos interiores hasta la base cuya suma de longitudes sea igual que la de los lados, pero que en otro caso siempre existen puntos en el interior del triángulo con esa propiedad. (III.29)

Si AB > AC, existe en el lado AB un punto F tal que BF = (AB+AC)/2. Sea P un punto en el interior del triángulo y situado por encima de F. Trazamos PJ paralela a AB. Pappus demuestra que la circunferencia con centro P y radio AB+AC-PJ corta al segmento JC en un punto L. Entonces AB+AC=PJ+PL.

A continuación Pappus muestra como proceder en el caso de que la base BC > AB=AC, y demuestra que si desde un punto interior se pueden trazar segmentos a la base cuya suma es igual a la de los lados sobre la base, también existe un punto interior y segmentos desde él a la base cuya suma es mayor que la de los lados (III.31).

Pappus prosigue en III.32:
Como todo esto parece paradójico a los que no conocen la geometría, parecerá todavía más paradójico, no solo que la suma de los segmentos situados en el interior pueda igualar o superar a la suma de los segmentos exteriores sino también que cada uno de los segmentos interiores pueda igualar a superar a cada uno de los segmentos exteriores.

Y Pappus demuestra que si la base BC > AB > AC es posible realizar esa construcción:

Tomamos un punto P en el interior del triángulo y en la circunferencia con centro B que pasa por A. Entonces la circunferencia con centro P y radio AC corta a BC en un punto E, y AB=PB y AC=PE. (III.33).
Si P está en el interior del triángulo y fuera de la circunferencia con centro B, podemos obtener segmentos interiores mayores respectivamente que los exteriores.

Pappus concluye la exposición de Erycino extendiendo las “paradojas” al caso en que las líneas quebradas exterior e interior tienen más de dos segmentos.


Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ZTFNews.org.

Un comentario sobre “Las paradojas de Erycino

  1. Pingback: Carnaval de Matemáticas: resumen de la edición 3,141592 « :: ZTFNews.org