Las propiedades de la cuerda rota

Llamamos cuerda rota a una quebrada ABC inscrita en una circunferencia.
Si M es el punto medio del arco ABC y E es el pie de la perpendicular trazada desde M sobre el segmento mayor AB de la quebrada, entonces:

(P1) E divide a la quebrada ABC en dos partes iguales: AE = EB+BC.
(P2) La diferencia entre las áreas de \triangle AMC y \triangle ABC es el área del rectángulo ME\cdot EB.
(P3) AM^2 = MB^2 + AB\cdot BC, tanto si las longitudes que intervienen en la fórmula son longitudes de arcos ( AB sería el arco AMB, etc) como si son longitudes de cuerdas.

Al-Biruni, en su libro “Cálculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, cuyo milenario se cumple en uno de estos años, da 23 demostraciones de (P1) y 9 demostraciones de (P3).
En una de las pruebas de (P1), debida a Al-Shanni, se usa como lema (P2), demostrado independientemente, pero Al-Biruni también demuestra (P2) a partir de (P1), como se expone a continuación.
La demostración de (P1) que sigue se debe a Al-Sijzi y la de (P3) aparece en un libro de problemas traducido del griego por un Yuhanna Ibn Yusuf.


Demostración de (P1) : AE = EB+BC.

Trazamos la cuerda MD paralela a AB y completamos el rectángulo EMDF.
Entonces MD=EF, BE=FA y arco BM= arco AD.
De donde, como arco AM = arco CM, resulta arco BC = arco MD y por tanto BC=MD=EF y AE= AF+EF=BE+BC,   c.q.d.


Demostración de (P2) : \triangle AMC -  \triangle ABC =   ME\cdot EB.

Si hacemos EH=EB, por (P1) tenemos que AH=BC.   Como además \angle BAM = \angle BCM porque los dos subtienden el arco BM, y AM = CM,   tenemos \triangle BCM = \triangle HAM.
Entonces \triangle AMC -  \triangle ABC = (quitando \triangle AKC) \triangle AKM - \triangle BKC = (sumando \triangle BKM) \triangle AMB - \triangle CMB = (como \triangle CMB=\triangle AMH) \triangle AMB - \triangle MHA = \triangle MBH.
Pero \triangle MBH = EB \cdot ME, porque BH = 2 \cdot EB, y por tanto  \triangle AMC -  \triangle ABC =  EB \cdot ME,   c.q.d.


Demostración de (P3) :  AM^2 = MB^2 + AB\cdot BC.

Por Euclides II.5, si un segmento AC está dividido por un punto B y M es el punto medio de AC, AM^2 = MB^2 + AB \cdot BC, que es la identidad (h+x)(h-x) = h^2 - x^2.

Por tanto, en la figura, \text{arco}AM^2 = \text{arco}BM^2 + \text{arco}AMB \cdot \text{arco}BC.

 B es un punto de la quebrada ABC y por (P1) E es su punto medio, por tanto, por Euclides II.5, AE^2 = EB^2 + AB \cdot BC, y sumando a ambos lados EM^2 y aplicando el teorema de Pitágoras, resulta AM^2 = BM^2 + AB \cdot BC,   c.q.d.



Fuente: Al-Biruni, “Calculo de las cuerdas…”, traducido por Heinrich Suter (al alemán) en Bibliotheca Mathematica, serie 3, vol.11 (1910-1911), págs. 11-78.
Las demostraciones anteriores aparecen en págs. 17 (P1), 21 (P2) y 26 (P3).

4 comentarios sobre “Las propiedades de la cuerda rota

  1. Pingback: La fórmula de Brahmagupta por Al-Shanni | Guirnalda matemática

  2. Hola, si me permite una demostracion de (P1), que tal vez sea una de las 23 de Al-Biruni (estariamos coincidiendo 1000 años despues!). Llamemos O al centro de la circunferencia, luego decimos que B’ es el reflejo de B con respecto a OM, B’ esta sobre la circunferencia. AM es bisectriz del angulo B’AB entonces decimos que B” es el reflejo de B’ con respecto a dicha bisectriz, B” esta sobre AB. Asi vemos que MB=MB’=MB” y ademas BE=EB” y AB”=BC, finalmente AE=AB”+EB”=BC+BE.
    Decirle que lo felicito por el blog, las paginas me traen una cierta nostalgia… en fin, no se, esta interesante y me alegra que continue produciendo cosas.
    Saludos,
    ricarlos.

  3. Gracias. Esa demostración se parece mucho a la primera de las 23, que es la primera de las 3 que Al-Biruni dice que son atribuidas a Arquímedes. Escribiré sobre eso en próxima entrada.

  4. Si usamos el teorema de simpson se reduce rapidamente la demostración, probando un paralelismo de rectas.

Escribir un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

*

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>