Las secciones opuestas

En una entrada anterior vimos como, en la proposición 12 del libro I de las Cónicas, Apolonio de Perga obtuvo el “symptoma” de la hipérbola a partir de la sección de un cono oblicuo por un determinado plano. En Apolonio la palabra “hipérbola” designa a una sola rama de la curva.

La proposición I.14 de las Cónicas introduce lo que hoy denominamos las dos ramas de la hipérbola, que Apolonio llama “secciones opuestas”, y dice así:

Si las superficies cónicas opuestas por el vértice son cortadas por un plano que no pase por el vértice

  • se tendrá en cada superficie la sección llamada hipérbola
  • el diámetro de ambas secciones será la misma recta y las ordenadas de las dos secciones paralelas
  • los lados rectos serán iguales
  • el lado transverso de la figura, que es el segmento entre los vértices de las secciones, es común.

Llamemos opuestas (αντικειμεναι) a tales secciones.

Sea ΒΔΓΖ la circunferencia usada junto el vértice Α para generar la superficie cónica oblicua. Un plano paralelo al plano de esa circunferencia y que corte a la superficie cónica al otro lado del vértice la cortará también en una circunferencia ΞΚΟΗ.
Sea ΒΓ es el diámetro de ΒΔΓΖ perpendicular a la recta ΔΖ que es interseccion plano secante con el plano de esa circunferencia.
El plano del triángulo axial ΑΒΓ pasa por el diámetro ΞΟ perpendicular a la recta ΚΗ intersección del plano secante con el plano de ΞΚΟΗ. Entonces ΑΞΟ es el triángulo axial correspondiente a la sección cortada al otro lado del vértice.
Por la proposición I.7 la intersección del plano del triángulo axial con el plano secante es un diámetro de la sección y como los dos triángulos axiales están en el mismo plano, el diámetro de las dos secciones es la misma recta.
Las ordenadas de las dos secciones son paralelas porque son paralelas a las perpendiculares a los diámetros paralelos ΒΓ y ΞΟ.
La superficie es una hipérbola, por la proposición I.12, puesto que el diámetro de cada sección corta a un lado de su triángulo axial al otro lado del vértice. El lado transverso ΘΕ es común porque el diámetro es común. Los lados rectos ΘΡ y ΕΠ son iguales porque los triágulos axiales son semejantes y en su determinación solo intervienen razones entre los lados de esos triángulos y el lado transverso ΘΕ común.

Se dice a veces que Apolonio fue el primero en tratar las dos ramas de la hipérbola, pero en el prólogo al primer libro de las Cónicas Apolonio da a entender que ya habían sido estudiadas anteriormente:
“El primer libro contiene el modo de generación de las tres secciones y de las opuestas así como sus propiedades fundamentales (αρχικα συμπτωματα), tratadas de forma más detallada y general que en otros autores.”