Longitud de la cicloide y de la cardioide

Longitud de la cicloide

 
En la entrada sobre el área de la cicloide (en Maupertuis) definimos la cicloide poligonal como la línea poligonal que se obtiene uniendo los extremos de los arcos que componen la trayectoria de un vértice de un polígono regular que rueda sobre una recta.

Designando con s_k el segmento k-ésimo de la cicloide poligonal y con d_k la diagonal del polígono regular que subtiende k lados, por la definición de la cicloide poligonal los triángulos sombreados de la figura, con un lado s_k en la cicloide poligonal y los otros dos diagonales d_k iguales del polígono, son isósceles, semejantes entre sí y semejantes al triángulo con un lado L igual al del polígono regular y los otros dos iguales al radio R de la circunferencia circunscrita.

Entonces   \dfrac{s_k}{L} = \dfrac{d_k}{R},   y   \sum s_k = \dfrac{L}{R} \sum d_k.
Pero, por la entrada anterior,   \sum d_k = \dfrac{4R(R+r)}{L},   donde r es el radio de la circunferencia inscrita, y por tanto   \sum s_k = 4(R+r),   y queda demostrado:
Sea cual sea el número de lados del polígono regular la genera, la longitud de la cicloide polígonal es cuatro veces la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono.

En el caso de un número impar de lados, R+r es la altura del polígono y en el caso de un número par de lados es la media de las dos mayores diagonales.


Considerando al círculo como un polígono de infinitos lados, en ese caso R=r, y por tanto la longitud de la cicloide es cuatro veces el diámetro del circulo que la genera.
 

Longitud de la cardioide

 
Por la definición de cardioide poligonal en la entrada sobre el área de la cardioide, para un polígono regular dado los segmentos que componen su cardioide poligonal son los mismos que los de su cicloide poligonal, pero duplicados, y por tanto la longitud de la cardioide será el doble, es decir:

Sea cual sea el número de lados del polígono regular la genera, la longitud de la cardioide polígonal es ocho veces la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono.

Considerando al círculo como un polígono de infinitos lados, en ese caso R=r, y por tanto la longitud de la cardioide es 8 veces el diámetro del circulo que la genera.


Adaptado de: Maupertuis. Quadrature et rectification des figures formées par le roulement des polygones reguliers. Mem. Acad. Royale des Sciences, 1727, pag.209-213.


Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog High Ability Dimension.

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