Media armónica focal

Demostramos aquí que, en cualquier cónica, la media armónica de los dos segmentos que separa el foco F en las cuerdas que pasan por él, o cuerdas focales, es la misma para todas esas cuerdas.

Esa media armónica constante será por tanto igual a la mitad FL de la cuerda focal perpendicular al eje.
En la figura   \dfrac{2}{FL} = \dfrac{1}{FM} + \dfrac{1}{FM'} = \dfrac{1}{FN} + \dfrac{1}{FN'}

En la siguiente figura CG es la directriz, F es el foco, AB es una cuerda focal que corta a la cónica en A,B y a la directriz en C y LE es la cuerda focal perpendicular al eje.
Por la propiedad foco-directriz \frac{AF}{AG} = \frac{BF}{BH}, y por tanto \frac{AF}{AC} = \frac{BF}{BC}. Entonces C,F;B,A es una cuaterna armónica de puntos y por tanto CF es la media armónica de CB y CA.
Como por semejanza de triángulos, los segmentos CF,CB,CA son respectivamente proporcionales a FD,BH,AG,   FD = LK es media armónica de BH y AG, y como por la propiedad foco-directriz LK,BH,AG son respectivamente proporcionales a LF,BF,AF,   LF es la media armónica de BF y AF.

Como eso sucede para cualquier cuerda focal, la media armónica de los segmentos en que el foco divide a cualquier cuerda focal es la misma para todas las cuerdas focales.

Como corolario tenemos que la razón entre el producto de los segmentos de 2 cuerdas focales es igual a la razón entre las cuerdas focales.
Porque como \dfrac{1}{FA} + \dfrac{1}{FB} =  \dfrac{1}{FS} + \dfrac{1}{FT}, \dfrac{FA + FB}{FA \cdot FB} = \dfrac{FS + FT}{FS \cdot FT}     y por tanto \dfrac{AB}{ST} =  \dfrac{FA \cdot FB}{FS \cdot FT}.

Además, como demostramos en una entrada anterior, esa razón es igual a la razón entre los productos de los segmentos que forman dos cuerdas cualesquiera paralelas a las cuerdas focales, entre su punto de intersección y la cónica.


Fuente: Charles Taylor, “An introduction to the ancient and modern geometry of conics” (1881), Proposition IX, pag.26.


Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matesdedavid.

2 comentarios sobre “Media armónica focal

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