Demostramos aquí que, en cualquier cónica, la media armónica de los dos segmentos que separa el foco en las cuerdas que pasan por él, o cuerdas focales, es la misma para todas esas cuerdas.

Esa media armónica constante será por tanto igual a la mitad de la cuerda focal perpendicular al eje.
En la figura  

En la siguiente figura es la directriz, es el foco, es una cuerda focal que corta a la cónica en y a la directriz en y es la cuerda focal perpendicular al eje.
Por la propiedad foco-directriz , y por tanto . Entonces es una cuaterna armónica de puntos y por tanto es la media armónica de y .
Como por semejanza de triángulos, los segmentos son respectivamente proporcionales a ,   es media armónica de y , y como por la propiedad foco-directriz son respectivamente proporcionales a ,   es la media armónica de y .

Como eso sucede para cualquier cuerda focal, la media armónica de los segmentos en que el foco divide a cualquier cuerda focal es la misma para todas las cuerdas focales.

Como corolario tenemos que la razón entre el producto de los segmentos de 2 cuerdas focales es igual a la razón entre las cuerdas focales.
Porque como ,     y por tanto .

Además, como demostramos en una entrada anterior, esa razón es igual a la razón entre los productos de los segmentos que forman dos cuerdas cualesquiera paralelas a las cuerdas focales, entre su punto de intersección y la cónica.

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Fuente: Charles Taylor, “An introduction to the ancient and modern geometry of conics” (1881), Proposition IX, pag.26.

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Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matesdedavid.