Media geométrica focal

Sea un punto P en una cónica con foco F y CD la cuerda de la cónica paralela a la tangente en P y que pasa por el foco F.

Demostramos aquí que si PG es el segmento de la normal en P entre la tangente y el eje, entonces PG es la media geométrica de FC y FD.

La paralela al eje por P corta a la directriz en M, y a la paralela a la normal que pasa por F en el punto E. Entonces PG = EF.
La tangente en P y la cuerda CD cortan a la directriz en R y T.

Como EMT y EFT son rectos E,M,T,F son concíclicos y como PFR es recto, M,P,F,R son concíclicos.
Entonces los ángulos PRF y ETF son iguales porque los dos son iguales al PMF=EMF.
Por tanto los triángulos TEF y RPF son semejantes y EF/ET=PF/PR.

Por la propiedad foco-directriz PF/PR = CF/CT = DF/DT, y como estas razones son iguales a EF/ET, por Euclides VI.3  EC y ED son las bisectrices del ángulo TEF.
Entonces el ángulo CED es recto y, por Euclides II.14, EF = PG es media geométrica de FC y FD.

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